AcWing 4405. 统计子矩阵 双指针+二维前缀和

题目描述

给定一个 N×M 的矩阵 A，请你统计有多少个子矩阵 (最小 1×1，最大 N×M) 满足子矩阵中所有数的和不超过给定的整数 K?

输入格式
第一行包含三个整数 N,M 和 K。

之后 N 行每行包含 M 个整数，代表矩阵 A。

输出格式
一个整数代表答案。

数据范围
对于 30% 的数据，N,M≤20，
对于 70% 的数据，N,M≤100，
对于 100% 的数据，1≤N,M≤500;0≤Aij≤1000;1≤K≤2.5×108。

原题连接：https://www.acwing.com/problem/content/4408/

我是真的脑残

题目中，要求的是子矩阵中所有数的和不超过给定的整数 K，我一直以为是超过，这就导致我，最后看代码的时候，一直不明白为啥答案要加上那个数，啊啊啊啊，什么脑残啊。

思路

暴力

我们考虑暴力算法。

容易想到，我们可以枚举子矩阵的左上角和右下角，然后利用二维前缀和求出这个子矩阵的和，每次更新答案。时间复杂度 O(n4)O(n4)，需要优化。

抽象成一维，然后用双指针

我们可以枚举列的所有可能的起点和终点组合，固定左右边界。然后行就变成了一维，然后在这一行操作。因为题中有限制，矩阵中所有的数都是非负数，然后问题就转化成为：

在一维数组中求使得区间和不大于K的所有区间总数，这就是为什么可以使用双指针的原因。

枚举子矩阵的左边界和右边界，双指针维护上下边界。具体的，指针 u 表示上边界，指针 d 表示下边界，如果当前子矩阵的和大于 k，则让 u向下移动；如果当前子矩阵的和小于等于 k，则让 d 向下移动。每次更新答案即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 5e2 + 10;

int n, m, k;
int s[N][N];
LL res;

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
            scanf("%d", &s[i][j]);
            s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1]; // 二维前缀和
        }
    for (int i = 1; i <= m; i ++ ) // 左边界
        for (int j = i; j <= m; j ++ ) // 右边界
            for (int u = 1, d = 1; d <= n; d ++ )
            {
                while (u <= d && s[d][j] - s[u - 1][j] - s[d][i - 1] + s[u - 1][i - 1] > k) u ++ ; // 双指针
                if (u <= d) res += d - u + 1; // 更新答案
            }
    printf("%lld\n", res);
    return 0;
}