快速幂学习笔记

快速幂，二进制取幂（Binary Exponentiation，也称平方法），是一个在 $\Theta (\log n)$ 的时间内计算 $a^n$ 的小技巧，而暴力的计算需要 $\Theta (n)$ 的时间。而这个技巧也常常用在非计算的场景，因为它可以应用在任何具有结合律的运算中。其中显然的是它可以应用于模意义下取幂、矩阵幂等运算，我们接下来会讨论。

算法描述

计算 $a$ 的 $n$ 次方表示将 $n$ 个 $a$ 乘在一起：$a^n=\underset{n\text{ 个 a}}{\underbrace{a\times a\cdots \times a}}$。然而当 $a,n$ 太大的时侯，这种方法就不太适用了。不过我们知道：$a^{b+c}=a^b\cdot a^c,a^{2b}=a^b\cdot a^b=(a^b{)}^2$。二进制取幂的想法是，我们将取幂的任务按照指数的 二进制表示 来分割成更小的任务。

首先我们将 $n$ 表示为 2 进制，举一个例子：

$$3^{13}=3^{(1101{)}_2}=3^8\cdot 3^4\cdot 3^1$$

因为 $n$ 有 $\lfloor {\log }_{2}n\rfloor +1$ 个二进制位，因此当我们知道了 $a^1,a^2,a^4,a^8,\dots ,a^{2^{\lfloor {\log }_{2}n\rfloor }}$ 后，我们只用计算 $\Theta (\log n)$ 次乘法就可以计算出 $a^n$。

于是我们只需要知道一个快速的方法来计算上述 3 的 $2^k$ 次幂的序列。这个问题很简单，因为序列中（除第一个）任意一个元素就是其前一个元素的平方。举一个例子：

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ 3^1 &= 3 \\ 3^…

因此为了计算 $3^{13}$，我们只需要将对应二进制位为 1 的整系数幂乘起来就行了：

$$3^{13}=6561\cdot 81\cdot 3=1594323$$

将上述过程说得形式化一些，如果把 $n$ 写作二进制为 $(n_t{n}_{t-1}\cdots n_1{n}_0{)}_2$，那么有：

$$n=n_t{2}^t+n_{t-1}{2}^{t-1}+n_{t-2}{2}^{t-2}+\cdots +n_1{2}^1+n_0{2}^0$$

其中 n i ∈ { 0 , 1 } n_i\in\{0,1\} ni​∈{0,1}。那么就有

$$\begin{array}{rl}{a}^n& =(a^{n_t{2}^t+\cdots +n_0{2}^0})\\ & \\ & =a^{n_0{2}^0}\times a^{n_1{2}^1}\times \cdots \times a^{n_t{2}^t}\end{array}$$

根据上式我们发现，原问题被我们转化成了形式相同的子问题的乘积，并且我们可以在常数时间内从 $2^i$ 项推出 $2^{i+1}$ 项。

这个算法的复杂度是 $\Theta (\log n)$ 的，我们计算了 $\Theta (\log n)$ 个 $2^k$ 次幂的数，然后花费 $\Theta (\log n)$ 的时间选择二进制为 1 对应的幂来相乘。

代码实现

ll qpow(int x, int n, int mod) {
	ll ans = 1;
	while (n) {
		if (n & 1)ans = ans * x % mod;
		x = x * x % mod;
		n >>= 1;
	}
	return ans % mod;
}

//当数非常大时，计算 (a*b)%m 使用 long long 也有可能爆精度
//此时需要转乘法为加法，在模拟的同时不断求模。
ll qmultiply(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 0;
    while (b) {
        if (b & 1)ans = (ans + a) % mod;
        a = (a << 2) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans % mod;
}