Divide and Conquer(分治算法)

分治算法的介绍

分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)

分治算法的核心思想

• 分治算法的核心思想就是四个字,分而治之,也就是将原来的问题划分成n个规模较小,并且结构与原问题相似的子问题,递归地解决这些子问题,然后再合并其结果,就得到原问题的解.
• 看起来有点像递归,不过要知道分治算法是一种处理问题的思想,递归是一种编程技巧.看起来像是因为分治算法一般都比较适合用递归去实现

分治算法的适用条件

1. 原问题与分解的小问题之间具有相同的模式
2. 原问题分解成子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性，这一点是分治算法跟动态规划的明显区别
3. 具有分解终止条件，即当问题足够小可以直接求解
4. 可以将子问题合并成原问题，而这个合并操作复杂度不能太高，否则起不到减小算法整体复杂度的效果

分治算法的基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤

1. 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
2. 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
3. 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解

分治算法可以解决的一些经典问题

√ 二分搜索

√ 大整数乘法

√ 棋盘覆盖

√ 合并排序

√ 快速排序

√ 线性时间选择

√ 最接近点对问题

√ 循环赛日程表

√ 汉诺塔

分治算法的最佳实践 — 汉诺塔

• 汉诺塔的传说

  汉诺塔：汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着 64 片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。假如每秒钟一次，共需多长时间呢？移完这些金片需要 5845.54 亿年以上，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了 5845.54 亿年，地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。

• 汉诺塔游戏的演示和思路分析

  1. 如果有1个盘从A→C；如果有2个或2个以上的盘，我们可以把它看成2个盘，最下面的1个是1个盘，上面的所有是1个盘
  2. 先把最上面的盘从A→B
  3. 再把最下面的1个盘从A→C
  4. 最后把B塔上的所有盘从B→C

代码实现

// 汉诺塔的分治应用
    public static void hanoiTower(int num, char a, char b, char c) {
        // 如果只有一个盘
        if (num == 1){
            System.out.println("第1个盘 " + a + "->" + c);
            return;
        }
        // 如果num >= 2，可以将最下面的一个看成一个盘和它上面的所有盘看成一个盘
        // 先将最上面的所有盘从 A->B，移动的时要借用C塔
        hanoiTower(num-1, a, c, b);
        // 再把最下面的一个盘从 A->C
        System.out.println("第" + num + "个盘 " + a + "->" + c);
        // 最后将B塔上的所有盘从B->C，移动时要借用A塔
        hanoiTower(num-1, b, a, c);
    }

注：以上大部分内容来源于韩顺平老师的数据结构和算法笔记