计算几何之 凸包 Andrew算法 代码模板与实现过程

凸包的定义

啥是凸包呢？我们不严谨地把这个词拆开来看，凸是指凸多边形的意思，包是指包住所有的点，因此凸包就是一个包住所有的点的凸多边形。简单来说，就是给你n个点，将这n个点的最外层的点连起来，将所有的点包在内部，这就是这n个点的凸包。可以想象这n个点都插了一根柱子，然后用一个橡皮筋将所有的柱子套住，然后再松开，橡皮筋所包住的图形就是这个凸多边形。

因此这里凸包有一个性质：凸包是平面中包括住所有点的多边形中周长最小的。

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凸包的求法

凸包的求法有很多种，有Graham扫描法、Jarvis步进法等等，掌握一个就行，这里讲一个简单一点的方法Andrew算法。
Andrew算法是Graham算法的改良版，好写一点，据说比Graham快一点。Andrew并不难，就两步：

第一步： 首先将所有点排个序，以x坐标为第一关键字，以y坐标为第二关键字。
第二步： 从左至右维护上半部分的边界，从右至左维护下半部分的边界。

那么问题的关键就是如何维护来找到这个边界呢？这里我们用栈来维护，找上边界时，我们从第一个点也就是最左边的点出发，然后一次枚举下一个点，如果下一个点在栈顶向量延长线的左侧（注意这里栈顶向量指的是栈顶第二个点指向站顶点的向量），那么我们就删去栈顶这个点，将新点入栈；若下一个点在栈顶那个向量延长线的右侧，就不用将栈顶点出栈，直接将新点入栈即可。这样找到最右边的点时，上边界就确定完了。注意这里的出栈是个while过程，当栈顶点在左侧时，一直删掉栈顶点，直到在右侧为止。
然后我们在按照相同的方法找下边界，我们从右向左找，若新点在栈顶向量延长线的左侧，则栈顶的点出栈，新点入栈；若新点在右侧，则不用出栈，直接将新点入栈即可。注意这里从右边往左边找的时候要直到最左边的点后才结束，也就是说也要判断最开始走的第一个点。具体如下图：

若出现第①种情况，就是求上边界时，下一个点在延长线的右侧时，直接将新点入栈；若是第②种情况，下一个点在延长线的左侧时，先将栈顶点出栈，再将新点入栈，因为上一个点一定会被新点包含进去。

下边界同理，如上图存在两种情况，在右侧的直接入栈，左侧的先将栈顶点出栈再入栈。
而到最后一定要将第一个点也就是出发点判断一下，不然有可能会出现下图这种情况：

凸包并不是黑色线条的图形，最后两条边应该是蓝色的边，这里就需要队出发点进行一次判断。

Andrew的步骤就是这两步，有些人会有疑问：如何判断一个点在该直线的左侧还是右侧，就是最常用的向量法，用两向量的叉积正负值来判断在左侧还是在右侧，如图，我们只需要判断向量u和v的叉积，若为正，则在左侧；若为负，则在右侧。

那么如果下一个点就在延长线上，那么出不出栈就看题目要求了，若要找所有点，那就不出栈；若要找最少点数，那就出栈。

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代码模板

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 10010;
typedef pair<double,double> PDD;

int n,top,stk[N];	//手动开一个栈stk，top是栈顶指针
PDD p[N];		//用pair来存点
bool used[N];		//判断某点是否被用过，当作边界

double lens(PDD a,PDD b)	//求ab两点距离的函数
{
	double x = a.first - b.first;
	double y = a.second - b.second;
	return sqrt(x*x + y*y);		//距离=根号下x、y坐标的平方和
}

PDD operator-(PDD a,PDD b)	//重载一下减号，可以用在两个pair间直接减
{
	return {a.first-b.first,a.second-b.second};
}

double cross(PDD a,PDD b,PDD c)		//计算两个向量的叉积
{
	PDD u,v;	//定义u、v两个向量
	u = b - a,v = c - a;	//u是b-a，v是c-a
	return u.first*v.second - v.first*u.second;	//叉积是x1*y2 - x2*y1
}

double andrew()		//andrew算法
{
	sort(p,p+n);	//第一步先对点进行排序，pair存点的好处就是好排序
	for(int i = 0;i < n;i++)	//从左往右维护每一个点
	{
		while(top >= 2 && cross(p[stk[top-1]],p[stk[top]],p[i]) > 0)	//如果栈里元素大于等于两个并且叉积大于0，注意是while
		{
			used[stk[top]] = 0;	//取消用了的标记
			top--;	//先出栈
		}
		stk[++top] = i;		//新点入栈
		used[i] = 1;		//标记该点用了
	}
	used[0] = 0;	//取消第一个点的标记，我们要再判断一下第一个点
	for(int i = n-2;i >= 0;i--)	//从右往左维护每个点
	{
		if(used[i])	//如果某点用作上边界了，直接跳过
			continue;
		while(top >= 2 && cross(p[stk[top-1]],p[stk[top]],p[i]) > 0)	//如果栈里元素个数大于等于2且叉积大于0
			top--;		//先出栈
		stk[++top] = i;		//新点入栈
	}

	double perimeter = 0;	//周长
	for(int i = 2;i <= top;i++)	//循环每个点，这里栈里是从1开始存的
		perimeter += lens(p[stk[i]],p[stk[i-1]]);	//计算两点间距离，加和
	return perimeter;	//返回周长
}

int main()
{
	cin >> n;	//n个点
	for(int i = 0;i < n;i++)
	{
		double x,y;
		cin >> x >> y;		//输出n个点的坐标
		p[i] = {x,y};
	}

	double ans = andrew();		//andrew算法求凸包
	printf("%.2lf\n",ans);		//输出凸包周长

	return 0;
}

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经典例题

题解传送门：Acwing 2935：信用卡凸包