子序列宽度之和

题目

一个序列的 宽度 定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 的所有非空 子序列 的 宽度之和 。由于答案可能非常大，请返回对 109 + 7 取余 后的结果。

子序列 定义为从一个数组里删除一些（或者不删除）元素，但不改变剩下元素的顺序得到的数组。例如，[3,6,2,7] 就是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的一个子序列。

 

示例 1：

输入：nums = [2,1,3]
输出：6
解释：子序列为 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 。
相应的宽度是 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2 。
宽度之和是 6 。

示例 2：

输入：nums = [2]
输出：0

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• 1 <= nums[i] <= 105

1. 子序列

首先子序列不像子数组具有顺序关系，它是数学的一种组合。所以这道题目最暴力的方法是直接找组合，但是数据量是10^5，每个数拿或者不拿有2^10^5种，这个方法肯定不行，所以还要看看其它的条件。

2. 子序列找最大最小值

图片出处

这里我解释一下 (2^i - 2^(n-i-1)) * X，举个例子[2,1,3]，它所有的子序列是：

[1]、[2]、[3]、[1,2]、[1,3]、[2,3]、[1,2,3]

上面所有子序的差值公式：

(1-1) + (2-2) + (3-3) + (2-1) + (3-1) + (3-2) + (3-1)

然后我们算一下：首先对数组排序得[1,2,3]。

• 1在左边有两个子序列，贡献最大值既a1=1。在右边有子序列并且贡献最小值，贡献了4个子序列既a2 = -4。
• 2 的左边有两个子序列，贡献最大值既b1=2 * 2。右边也有两个子序列，贡献最小值b2 = -2 * 2
• 3左边有4个子序列，贡献最大值既c1 = 3 * 4。右边有一个子序列，贡献最小值既c2 = -2。

然后对着上面的差值公式数，就会理解了。

3. 代码

class Solution {
    public int sumSubseqWidths(int[] nums) {
        int MOD = (int) 1e9 + 7;
        int n = nums.length;
        long ans = 0;
        long[] p = new long[n];
        p[0] = 1;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            p[i] = (p[i - 1] * 2) % MOD;
        }
        Arrays.sort(nums);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            ans += (p[i] * nums[i]) % MOD;
            ans %= MOD;
            ans -= (p[n - i - 1] * nums[i]) % MOD;
            ans %= MOD;
        }
        return (int) ans;
    }
}