计算机中的数据表示与运算原理-优快云博客

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第二章：计算机中的数据

Part 1：基本概念

1、进制及其转换

二进制->八/十六进制
二进制<->十进制

2、机器数和真值

真值

正常人类使用的十进制数
机器数

最高位表示符号位(整数为0，负数为1)，剩下的是真值绝对值的二进制数

3、四种码（原码、反码、补码、移码）¹

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原码：Sign Magnitude

反码：Ones’ Complement

补码：Two’s Complement

为什么需要反码和补码？

人脑可以一眼看出第一位是符号位，然后进行加减乘除运算，但是对于计算机来说，加减乘除是最基本的运算，加入符号位判断，会使得电路变得复杂，于是有人想到让符号位也参与运算中来
反码和补码的本质定义

反码（Ones’ Complement）：注意为“ones”，其中文翻译为“1们的补集”。这个名称直观的定义了反码的的计算方式如果有有x>0,则有

(-x)_反=[1······1]-[x]_原

补码（Two’s Complement）:"2的补集"同样直观的定义了补码的计算方法

4、数据的存储和边界对齐

数据的存储²
- 大端模式：正常人直观的存储模式
- 小端模式：正常人讨厌的存储模式（与大端模式相反）
边界对齐

C/C++数据类型要求边界对齐，这是由于现代存储器常用低位多体交叉存储结果来实现读取加速

Part 2：数据的表示和运算

1、整数

整数常用四种码表示，详见1.3

位移运算
- 算术位移：操作对象为有符号数，位移时符号位不变，当对[-x]_补进行右移时，要添1而不是0
- 逻辑位移：操作对象为无符号数，位移添0即可
加减运算
- 原码：正常运算
- 补码：同原码，只不过丢弃溢出位
  
  [A+B]_补码=[A]_补码+[B]_补码
乘除运算

3.1 原码
- 乘法：直接使用竖式乘法计算即可
- 除法：直接使用竖式计算即可
3.2补码
- 乘法：采用booth算法
- 除法：加减交替法

2、浮点数：IEEE 754³

科学计数法

为了表示一个庞大的数字，使用定点数是一件很不明智的事情（十分浪费空间），所以出现了科学计数法，即将一个数表示为如下的形式
$(\pm)a.b*10^c$
在10进制下，a有9种取值，因为0可以表达到10^c次中去，计算机中的float变量采用同样的思想，由于二进制数只有2个取值0，1则对于二进制的科学计数法来说a的取值只能是1，即float变量可以表示为
$(\pm)1.b*2^c$

我们只需要存储符号位，b和c即可
float的存储和运算

2.1 float的存储

float将4B，也就是32位划分成了3个部分来存储符号，b，c
- 符号：1 bit（0表示正，1表示负）
- 指数部分：8 bit（采用移码表示，即真值=无符号数（将这八位视为无符号数）-偏移值（127））
- 尾数部分：23 bit
在内存中的顺序为符号位->指数部分->尾数部分

2.2 float的运算

在加减运算是先让两个数的阶码保持一致后，再进行运算
float的范围和精度
- 范围
  - 指数范围
    
    float的指数有8位，将其视为无符号数，则其范围是0~255，考虑到其偏移值，范围是[-127, +128]，由于其全0和全1有特殊的用途，其真实的范围是[-126, +127]
  - 尾数范围
    
    尾数部分最大是取全1，即1.11······1（小数点后23个1），结合最大的指数2¹²⁷可知
    $1.11\cdots1*2^{127}=(2-2^{-23})*2^{127}\approx3.4E38$
  所以float的范围大概是[-3.4E38, +3.4E38]
- 精度
  
  Float在内存中只占4个字节，即只能表示2³²个数字，但是，float能表示的范围却远超这个数量级，这是因为float变量表示的数据不是均匀分布的（相比于int变量的每隔1存放一个数据）
float特殊值
- 尾数全0
  - 指数全0：表示0
  - 指数全1：表示无穷
- 尾数不全为0
  - 指数全0：将尾数位前默认的1修改为0，以提高表示小数的精度
  - 指数全1：Not a Number(NaN)

Part 3：硬件电路实现

1、基本运算部件

首先观察1位bit相加

Input A	Input B	Carry(进位)	Result
1	1	1	0
1	0	0	1
0	1	0	1
0	0	0	0

可以发现，进位的输出和与门（AND）相同，结果的输出和异或门（XOR）相同，由此可以构造出1位加法电路

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有了上一位的进位，变要重新考虑1bit相加

Input A	Input B	上一位进位	本位进位	结果
1	1	1	1	1
1	1	0	1	0
1	0	1	1	0
1	0	0	0	1
0	1	1	1	0
0	1	0	0	1
0	0	1	0	1
0	0	0	0	0

由此可以构造出1位全加器

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1.1 ALU⁴

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Part end：参考文献和一些说明

这个部分参考知乎上这个问题的回答（醉卧沙场大佬的回答）：https://www.zhihu.com/question/352057791/answer/876413629 ↩︎
术语“little endian(小端)”和“big endian(大端)”出自Jonathan Swift的《格列佛游记》（Gulliver’s Trabels）一书，其中交战的两个派别无法就应该从哪一端（小端还是大端）打开一个半熟的鸡蛋达成一致。一下是Jonathan Swift在1726年关于大小端之争历史的描述：“…下面要告诉你的是，Lilliput和Blefuscu这两大强国在过去36个月里一直在苦战。战争开始是由于以下的原因：我们大家都认为，吃鸡蛋前，原始的方法是打破鸡蛋较大的一端，可是当今皇帝的祖父小时候吃鸡蛋，一次按古法打鸡蛋是碰巧将一个手指弄破了，因此他的父亲，当时的皇帝，就下了一道敕令，命令全体臣民吃鸡蛋时打破鸡蛋较小的一端，违令者重罚。老百姓们对这项命令极为反感。历史告诉我们，由此曾发生过六次叛乱，其中一个皇帝送了命，另一个丢了王位。这些叛乱大多都是由Blefuscu的国王大臣们煽动起来的。叛乱平息后，流亡的人总是逃到那个帝国去寻救避难。据估计，先后几次有11000人情愿受死也不肯去打破鸡蛋较小的一端。关于这一争端，曾出版过几百本大部著作，不过大端派的书一直是受禁的，法律也规定该派的任何人不得做官。”在他那个时代，Swift是在讽刺英国（Lilliput）和法国（Blefuscu）之间的持续的冲突。Danny Cohen，一位网络协议的早期开创者，第一次使用这两个术语来指代字节顺序，后来这个术语被广泛接纳了 ↩︎
参考资料这篇文章（float的精度和取值范围）https://blog.youkuaiyun.com/albertsh/article/details/92385277 ↩︎
机器字长是计算机进行一次整数运算所能处理的二进制数的位数，因此所有和整数运算相关的数据通路均与机器字长相同（例如ALU和通用寄存器） ↩︎