4.1取样和取样函数中的傅里叶变换

数字图像处理中的取样与取样函数的傅里叶变换（深入详细讲解）

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一、什么是取样（Sampling）

1.1 取样的基本定义

在图像处理或信号处理中，取样的过程就是：

把一个连续的函数（如连续图像信号 $f(x,y)$）转换成离散的函数（像素矩阵 $f[m,n]$）的过程。按什么样的规则进行数据的选取采样（取样），因为连续函数到离散函数的转换过程必然舍弃部分，对应着就有如何选取部分。

比如：

• 模拟相机拍一张照片 → 图像原始信号是连续的；
• CCD/CMOS 传感器阵列对它进行离散采样；
• 得到一个像素化的图像矩阵。

1.2 数学表示（一维）

设连续函数 $f(x)$，以间隔 $T$ 进行采样（即每隔 $T$ 个单位取一个值），数学上可以表示为：

$$f_s(x)=f(x)\cdot {\delta }_T(x)$$

其中，${\delta }_T(x)$ 是周期为 $T$ 的冲激列（sampling function）（冲激函数构成的函数列或者函数簇，裁定取样的规则），定义为：

$${\delta }_T(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)$$

所以采样后的信号是：

$$f_s(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(nT)\cdot \delta (x-nT)$$

这个表示的核心含义是：我们只保留函数在 $x=nT$ 处的值，其他位置为零。（完成连续到离散的转化）

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二、取样函数的傅里叶变换

2.1 冲激函数 $\delta (x)$ 的傅里叶变换

$$\mathcal{F}[\delta (x)]=1,\mathcal{F}[1]=\delta (u)$$

2.2 周期冲激列 ${\delta }_T(x)$ 的傅里叶变换

设：

$${\delta }_T(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)$$

其傅里叶变换为：

$$\mathcal{F}[{\delta }_T(x)]=\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(u-\frac{k}{T}\right)$$

👉 时域中周期采样，对应频域中周期延拓（谱的复制）。

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三、采样后信号的频域表示

根据卷积定理（乘法在时域 ↔ 卷积在频域）：

$$\mathcal{F}[f_s(x)]=\mathcal{F}[f(x)\cdot {\delta }_T(x)]=F(u)\ast \mathcal{F}[{\delta }_T(x)]$$

代入我们上面的傅里叶变换结果：

$$\mathcal{F}[f_s(x)]=F(u)\ast \left(\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(u-\frac{k}{T}\right)\right)$$

进行卷积：

$$F_s(u)=\frac{1}{T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }F\left(u-\frac{k}{T}\right)$$

这意味着：采样会导致频谱的周期性复制（Spectral Replication）。

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四、图像中的二维采样与频谱复制

图像是二维信号，采样函数扩展为：

$${\delta }_{T_x,T_y}(x,y)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-m{T}_x,y-n{T}_y)$$

其傅里叶变换为：

$$\mathcal{F}[{\delta }_{T_x,T_y}(x,y)]=\frac{1}{T_x{T}_y}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{l=-\infty }^{\infty }\delta \left(u-\frac{k}{T_x},v-\frac{l}{T_y}\right)$$

所以图像的采样在频域中会导致频谱的二维复制（形成网格状谱结构）。

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五、采样频率、奈奎斯特定理与混叠（Aliasing）

5.1 奈奎斯特定理

为避免混叠（频谱重叠），采样频率必须满足：

$$f_s>2f_{\max }$$

其中 $f_{\max }$ 是信号中最高频率。

5.2 混叠现象

当采样频率过低时，频谱复制发生重叠，信息不可逆转地丢失，导致“马赛克”、“锯齿”、“莫尔条纹”等伪影。

图像中常见的例子是：

• 摄影中格子衬衫出现“彩虹色”的莫尔纹；
• 数字图像缩小时出现的锯齿。

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六、总结图示（建议你脑中构建如下图像）

取样过程的四步认知：

1. 连续信号 $f(x)$；
2. 与冲激列 ${\delta }_T(x)$ 相乘 → 离散样本；
3. 在频域中，原频谱 $F(u)$ 被周期性复制；
4. 若采样频率不足，复制频谱重叠 → 混叠。

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七、真实应用场景

• 图像压缩：JPEG 中使用采样降低频率信息；
• 图像重建：使用 sinc 插值或卷积核来复原连续图像；
• 超分辨率重建：基于采样理论提升图像清晰度；
• 深度学习中下采样（如 MaxPooling）与卷积核大小、步长的选择，直接影响信息保留与混叠。

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