降维算法之LDA（线性判别分析）

线性判别分析（Linear Discriminant Analysis, LDA）算法详解

先说理解：

线性判别分析（LDA，Linear Discriminant Analysis）是一种用来分类和降维的方法，通俗来说，它就像是一个“分组大师”，帮你在数据里找到一条线（或平面），把不同类别的人或东西清楚地分开。相比主成分分析（PCA）更注重“抓住数据的主要变化”，LDA 的目标是“让不同组别分开得越清楚越好”。

让我用一个生活化的例子来解释：

场景：水果摊分类

假设你在水果摊上卖苹果和橙子，顾客拿来一堆水果让你分清楚哪些是苹果，哪些是橙子。你可能会看几个特征：大小、颜色、重量。但这些特征混在一起不好直接判断。LDA 就像你的大脑在想：“我能不能找一个最聪明的办法，用一条线把苹果和橙子分开？”

1. 找区别：LDA 先看看苹果和橙子的特征有什么不一样。比如，苹果普遍偏红、稍重，橙子偏橙黄、稍轻。它会找一个“方向”，在这个方向上，苹果和橙子的差异最大。
2. 挤在一起：同时，LDA 还希望同一类水果（比如所有苹果）在一条线上尽量靠得近一点，别太分散。
3. 画条线：最后，LDA 会算出一条“分界线”，让苹果和橙子在这条线上被清楚分开。你只要把水果往这条线上一放，就能知道它是苹果还是橙子。

和 PCA 的区别

• PCA 像是在整理东西，关心“哪些特征变化最大”，不管这些东西是苹果还是橙子。
• LDA 更像是在分组，关心“怎么让苹果和橙子分得最清楚”。

举个例子

假如你有两组学生的数据：一组是“学霸”，一组是“运动达人”。每个学生有身高、体重、成绩、跑步速度这些特征。

• PCA 可能会说：“身高和体重变化最大，我用‘体型’来概括你们。”
• LDA 会说：“我想分开学霸和运动达人，发现‘成绩和跑步速度’的组合能最好地区分这两组，我用这个来画条线。”

生活中的意义

LDA 就像你在朋友圈里分组：有人爱吃，有人爱玩，有人爱学习。你想把他们分得清清楚楚，LDA 就帮你找到一个“最佳分组方式”，比如用“爱吃指数”和“爱玩指数”把人分开。

简单来说，LDA 就是：放大组间差异，缩小组内分散，帮你把东西分得清清楚楚！

1. LDA的基本概念

线性判别分析（LDA）是一种监督学习的降维方法，主要用于分类任务。与主成分分析（PCA）不同，PCA关注的是数据的方差，而LDA关注的是类别可分性。

核心目标

• 寻找一个最佳投影方向，使得不同类别的样本尽可能分开，而同一类别的样本尽可能聚集。
• 通过计算类内散度和类间散度，最大化类间方差与类内方差的比值。

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2. LDA的数学原理

设数据集包含 $m$ 个样本，每个样本有 $n$ 维特征，即数据矩阵为：
$$X=[x_1,x_2,...,x_m]x_i\in {\mathbb{R}}^n$$
其中，每个样本 $x_i$ 具有一个类别标签 $y_i$。设数据集有 $c$ 个类别，LDA 主要步骤如下：

2.1 计算各类别的均值向量

对每个类别 $k$，计算其均值向量：
$${\mu }_k=\frac{1}{N_k}\sum _{x_i\in C_k}{x}_i$$
其中，$N_k$ 表示类别 $k$ 的样本数，$C_k$ 表示类别 $k$ 的样本集合。

2.2 计算类内散度矩阵（Within-Class Scatter Matrix）

$$S_W=\sum _{k=1}^c{S}_k$$

其中，每个类别 $k$ 的散度矩阵：
$$S_k=\sum _{x_i\in C_k}(x_i-{\mu }_k)(x_i-{\mu }_k{)}^T$$

2.3 计算类间散度矩阵（Between-Class Scatter Matrix）

$$S_B=\sum _{k=1}^c{N}_k({\mu }_k-\mu )({\mu }_k-\mu {)}^T$$

其中，$\mu$ 是所有样本的全局均值：
$$\mu =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{x}_i$$

2.4 计算最佳投影方向

LDA的目标是找到一个变换矩阵 $W$，使得投影后的类间散度尽可能大，而类内散度尽可能小。数学上，该目标可以表示为最大化广义瑞利商：
$$J(W)=\frac{|W^T{S}_{B}W|}{|W^T{S}_{W}W|}$$

2.5 求解最优解

• 通过特征值分解或奇异值分解（SVD），解出 $S_W^{-1}{S}_B$ 的前 $k$ 个最大特征值对应的特征向量，构成变换矩阵 $W$。

• 将数据 $X$ 投影到新空间：
  $$X_{\text{new}}=XW$$

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3. LDA的Python实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis

# 示例数据
X = np.array([[2, 3], [3, 4], [4, 5], [8, 9], [9, 10], [10, 11]])
y = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])

# 训练LDA模型并降维到1维
lda = LinearDiscriminantAnalysis(n_components=1)
X_lda = lda.fit_transform(X, y)

print("投影后的数据：\n", X_lda)

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4. LDA的应用场景

1. 人脸识别：如 Fisherfaces 方法，将高维图像数据降维并分类。
2. 文本分类：降维后提高文本分类模型的性能。
3. 医学诊断：用于区分不同病理类别。

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5. 总结

• LDA 是一种监督学习的降维方法，用于提高分类效果。
• PCA 关注方差，LDA 关注类别可分性。
• 核心是最大化类间散度与类内散度之比，找到最优投影方向。
• 适用于模式识别、医学诊断、文本分类等任务。