学习高等数学和线性代数需要的初等数学知识

常用希腊字符读音

• $\alpha$：/ælfə/
• $\beta$：/betə/
• $\Gamma$、$\gamma$：/gama/
• $\Delta$、$\delta$：/deltə/
• $\epsilon$：/epsilon/
• $\upsilon$：/apsilon/
• $\theta$：/θitə/
• $\pi$：/paɪ/
• $\eta$：/ita/
• $\Lambda$、$\lambda$：/læmdə/
• $\mu$：/mju/
• $\xi$：/ksi/
• $\Sigma$、$\sigma$：/sigmə/
• $\tau$：/taʊ/
• $\Phi$、$\phi$：/faɪ/
• $\psi$：/psi/
• $\Omega$、$\omega$：/omiga/
• $\rho$：/ru:/

常用不等式

• $||a|-|b||\le |a\pm b|\le |a|+|b|$
• $|a_1\pm +a_2\pm \cdots \pm a_n|\le |a_1|+|a_2|+\cdots +|a_n|$
• $2|ab|\le a^2+b^2$
• $2ab\le a^2+b^2$
• $|sinx|\le |x|$
• 当$0<x<\frac{\pi }{2}$时：
  • $sinx<x<tanx$
  • $\frac{2}{\pi }<\frac{sinx}{x}<1$
• 当$0\le x\le 1$时，$arctanx\le x\le arcsinx$
• 当$0<x<1$时：
  • $1-2x^2<con2x<1(0<x<1)$
  • $x-\frac{1}{2}{x}^2<ln(1+x)<x$
• 当$x>0$时，$\frac{x}{1+x}<ln(1+x)<x$
• $x+1\le e^x$

常用公式

• $$arcsin(sinx)=\{\begin{array}{ll}x=2k\pi & x\in (-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi )\\ x=(2k+1)\pi -x& x\in (\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi )\end{array}$$
• $x^n-1=(x-1)(x^1+x^2+\cdots +x^{n-1})$
• $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
• $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
• $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
• $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

幂、根式和对数

• 幂运算：
  $$\begin{gathered} a^m{a}^n=a^{m+n} \\ {a}^m÷a^n=a^{m-n} \\ (a^m{)}^n=a^{mn} \\ (ab{)}^m=a^m{b}^m \\ (\frac{a}{b}{)}^m=\frac{a^m}{b^m} \\ {a}^{m+n}=a^m{a}^n \\ {a}^{-m}=\frac{1}{a^m}(m\in N^{+},a\ne 0) \\ {a}^{\frac{1}{m}}=\sqrt[m]{a}(当m为偶数时a\ge 0;m为奇数时a\in R) \end{gathered}$$
• 根式运算：
  $$\begin{gathered} {\sqrt{a}}^2=a \\ \sqrt{a^2}=|a| \\ \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} \\ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \end{gathered}$$
• 对数运算：

$$\begin{gathered} a^{lo{g}_{a}N}=N \\ lo{g}_{a}MN=lo{g}_{a}M+lo{g}_{a}N \\ lo{g}_a{N}^n=nlo{g}_{a}N \\ lo{g}_{a^m}N=\frac{1}{m}lo{g}_{a}N \\ lo{g}_{a}N=\frac{lo{g}_{c}N}{lo{g}_{c}a} \end{gathered}$$

三角函数

常用的三角函数值

函数/角度	0	30	45	60	90
sin	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tan	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	-

三角函数关系与三角型

$$\begin{gathered} tanacota=1 \\ sinacsca=1 \\ cosaseca=1 \\ tana=\frac{sina}{cosa} \\ cota=\frac{cosa}{sina} \\ si{n}^{2}a+co{s}^{2}a=1 \\ 1+ta{n}^{2}a=se{c}^{2}a \\ 1+co{t}^{2}a=cs{c}^{2}a \end{gathered}$$

诱导公式与单位圆

角\函数	$sin$	$cos$	$tan$	$cot$
$-a$	$-sina$	$cosa$	$-tana$	$-cota$
$\frac{\pi }{2}-a$	$cosa$	$sina$	$cota$	$tana$
$\frac{\pi }{2}+a$	$cosa$	$-sina$	$-cota$	$-tana$
$\pi -a$	$sina$	$-cosa$	$-tana$	$-cota$
$\pi +a$	$-sina$	$-cosa$	$tana$	$cota$
$\frac{3\pi }{4}-a$	$-cosa$	$-sina$	$cota$	$tana$
$\frac{3\pi }{4}+a$	$-cosa$	$sina$	$-cota$	$-tana$
$2\pi -a$	$-sina$	$cosa$	$-tana$	$-cota$
$2\pi +a$	$sina$	$cosa$	$tana$	$cota$

奇变偶不变，符号看象限

• 将三角函数内的值看作$A=\frac{k\pi }{2}+\alpha$，$\alpha$看作一个锐角
• 奇变偶不变指如果$k$是奇数则三角函数不变；如果$k$是偶数则三角函数变化。
• 符号看象限是指看$A$在哪一个象限内，然后根据原三角函数在$A$所在象限的正负。

三角函数变换

• 和差角公式：
  $$\begin{gathered} sin(a\pm b)=sinacosb\pm cosasinb \\ cos(a\pm b)=cosacosb\mp sinasinb \\ tan(a\pm b)=\frac{tana\pm tanb}{1\mp tanatanb} \\ cot(a\pm b)=\frac{cotacotb\mp 1}{cotb\pm cota} \end{gathered}$$

• 倍角公式：
  $$\begin{gathered} sin2a=2sinacosa \\ sin3a=3sina-4si{n}^{3}a \\ cos2a=2co{s}^{2}a-1=1-2si{n}^{2}a=co{s}^{2}a-si{n}^{2}a \\ cos3a=4co{s}^{3}a-3cosa \\ cot2a=\frac{co{t}^{2}a-1}{2cota} \\ tan2a=\frac{2tana}{1-ta{n}^{2}a} \end{gathered}$$

• 半角公式：
  $$\begin{gathered} sin\frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosa}{2}} \\ cos\frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cosa}{2}} \\ tan\frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-cosa}{1+cosa}}=\frac{1-cosa}{sina}=\frac{sina}{1+cosa} \\ cot\frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+cosa}{1-cosa}}=\frac{1+cosa}{sina}=\frac{sina}{1-cosa} \end{gathered}$$

• 和差化积公式：
  $$\begin{gathered} sina+sinb=2sin\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2} \\ sina-sinb=2cos\frac{a+b}{2}sin\frac{a-b}{2} \\ cosa+cosb=2cos\frac{a+b}{2}cos\frac{a-b}{2} \\ cosa-cosb=-2sin\frac{a+b}{2}sin\frac{a-b}{2} \end{gathered}$$

• 积化和差公式：
  $$\begin{gathered} sinasinb=-\frac{1}{2}[cos(a+b)-cos(a-b)] \\ cosacosb=\frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b)] \\ sinacosb=\frac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b)] \\ cosasinb=\frac{1}{2}[sin(a+b)-sin(a-b)] \end{gathered}$$

• 万能公式：
  $$\begin{gathered} sina=\frac{2tan\frac{a}{2}}{1+ta{n}^2\frac{a}{2}} \\ cosa=\frac{1-ta{n}^2\frac{a}{2}}{1+ta{n}^2\frac{a}{2}} \\ tana=\frac{2tan\frac{a}{2}}{1-ta{n}^2\frac{a}{2}} \end{gathered}$$

• 其它公式：
  $$\begin{gathered} asina+bcosa=\sqrt{a^2+b^2}sin(a+c),其中tanc=\frac{b}{a} \\ asina-bcosa=\sqrt{a^2+b^2}cos(a-c),其中tanc=\frac{a}{b} \\ 1+sina=(sin\frac{a}{2}+cos\frac{a}{2}{)}^2 \\ 1-sina=(sin\frac{a}{2}-cos\frac{a}{2}{)}^2 \end{gathered}$$

求和公式的性质

• $$\sum _{i=1}^{n}k{a}_i=k\sum _{i=1}^n{a}_i$$
• $$\sum _{i=1}^n(a_i+b_i)=\sum _{i=1}^n{a}_i+\sum _{i=1}^n{b}_i$$
• $$\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{a}_{ij}$$

一元二次方程求解

一元三次方程的因式分解

可通过十字相乘法对一元三次方程进行因式分解：

下面以一个例子说明十字相乘法的步骤：
$$2x^3-3x^2-11x-3$$

• 第一步：将三次项系数分解为$a$和$c$，将常数项分解为$d$和$e$，并设一个未知数$b$：
  $$\left|\begin{array}{ccccccc}2x^3& -& 3x^2& -& 11x& -& 3\\ 1& & & b& & & -1\\ 2& & & & & & 3\end{array}\right|$$
• 第二步：根据红蓝线的关系列一个关于$b$的方程组：
  $$\{\begin{array}{l}1\times 3+2\times b=-3\\ 2\times (-1)+3\times b=-11\end{array}$$
• 第三步：解方程组求$b$，如果$b$两个方程的$b$相同，则进行第四步，否则回到第一步重新进行。
• 第四步：根据求出的$b$写出原方程的分解因式：
  $$\begin{gathered} 2x^3-3x^2-11x-3 \\ \Downarrow \\ (x^2-3x-1)(2x+3) \end{gathered}$$

数学归纳法

数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。它有以下两种证明形式：

• 方式一：
  • 验证$n=1$时，命题成立
  • 假设$n=k$时，命题成立
  • 证明$n=k+1$时，命题成立
• 方式二：
  • 验证$n=1$和$n=2$时命题成立
  • 假设$n<k$时命题成立
  • 证明$n=k$时命题正确

等差数列和等比数列的性质

	等差数列	等比数列
定义	$a_n-a_{n-1}=C(n>1)$	$\frac{a_n}{a_{n-1}}=C(n>1)$
通项公式	$a_n=a_1+(n-1)d$	$a_n=a_1{q}^{n-1}(q\ne 0)$
性质	$$\begin{gathered} m+n=p+q\Rightarrow a_m+a_n=a_p+a_q \\ {a}_n=a_m+(n-m)d \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} m+n=p+q\Rightarrow a_m{a}_n=a_p{a}_q \\ {a}_n=a_m{q}^{n-m} \end{gathered}$$
前$n$项和	$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$	$$\begin{gathered} q\ne 1,S=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_{n}q}{1-q} \\ q=1,S_n=n{a}_1 \end{gathered}$$

充分条件和必要条件

• 充分条件：由前一个条件推出后一个条件。
• 必要条件：由后一个条件推出前一个条件。
• 充要条件：前一个条件能推出后一个条件，后一个条件也能推出前一个条件。

切线方程、斜率和法线

• 切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。
• 斜率：表示直线关于坐标轴倾斜程度的量。通常用直线与横坐标轴夹角的正切，或两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。
  • $k=tan\theta$
  • $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$
• 法线：法线就是垂直于切线的线。
• 函数在某一点的切线斜率乘法线斜率等于负一。
• 已知直线方程求斜率：$ax+by+c=0\Rightarrow k=-\frac{a}{b}$
• 已知斜率和一点求直线：$y-y_0＝k(x-x_0)$
• 已知两点求直线：$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

隐函数

如果方程$F(x,y)=0$能确定$y$是$x$的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量$x、y$，对于某一范围内的$x$的每一个值，$y$都有确定的值和它对应，$y$就是$x$的函数。这种关系一般用$y=f(x)$即显函数来表示。$F(x,y)=0$即隐函数是相对于显函数来说的。

极坐标

• 极坐标：极坐标是指在平面内取一个定点$O$，叫极点，引一条射线$Ox$，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点$M$，用$\rho$表示线段$OM$的长度，$\theta$表示从$Ox$到$OM$的角度，$\rho$叫做点$M$的极径，$\theta$叫做点$M$的极角，有序数对 $(\rho ,\theta )$就叫点$M$的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
• 参数方程：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标$x、y$都是某个变数$t$的函数，并且对于$t$的每一个允许的取值，由方程组确定的点$(x,y)$都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数$x、y$的变数$t$叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程即称为普通方程。
• 极坐标和直角坐标的相互转换：
  • $x=\rho cos\theta$
  • $y=\rho sin\theta$
  • $tan\theta =\frac{y}{x}$

排列组合

• 分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有$n$类办法，在第一类办法中有$m_1$种不同的方法，在第二类办法中有$m_2$种不同的方法，$\dots$，在第$n$类办法中有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N=m_1+m_2+\dots \dots +m_n$种不同的方法。

• 分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有$m_2$种不同的方法，$\dots$，做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N=m_1\times m_2\times \dots \dots \times m_n$种不同的方法。

• 排列：从$n$个不同元素中取出$m(m\le n)$个按照一定顺序排成一列，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个排列。

  • 排列数：从$n$个不同元素中取出$m(m\le n)$个的所有排列的个数，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的排列数，记作$A_n^m$
  • $A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$
  • $A_n^n=n!$
  • $A_n^0=1$
  • $0!=1$

• 组合：一般地，从$n$个不同元素中取出$m(m\le n)$个元素合成一组，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个组合。

  • 组合数：从$n$个不同元素中取出$m(m\le n)$个元素的所有不同组合的个数，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数，记作$C_n^m$
  • $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$
  • $C_n^m=c_n^{n-m}$
  • $C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1}$
  • $C_n^0=1$

坐标系中点与点、点与线的距离

• 二维直角坐标系点与点的距离：$D=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$
• 三维直角坐标系点与点的距离：$D=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2+(z_1-z_2{)}^2}$
• 二维直角坐标系点与直线的距离：$D=\frac{|Ay+Bx+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

常用面积体积公式

• 圆的周长：$2\pi r$
• 圆的面积：$\pi r^2$
• 圆柱体的侧面积：$2\pi rL$
• 圆柱体的表面积：$2\pi r^2+2\pi rL$
• 圆柱体的体积：$Sh$
• 球的表面积：$4\pi r^2$
• 球的体积：$\frac{4}{3}\pi r^3$