2022年蓝桥杯真题-积木画【最简单的矩阵快速幂】

问题描述

小明最近迷上了积木画, 有这么两种类型的积木, 分别为 I 型（大小为 2 个单位面积) 和 L 型 (大小为 3 个单位面积):

同时, 小明有一块面积大小为 2×N 的画布, 画布由 2×N 个1×1 区域构成。小明需要用以上两种积木将画布拼满, 他想知道总共有多少种不同的方式? 积木可以任意旋转, 且画布的方向固定。

输入格式：

输入一个整数 N，表示画布大小。

输出格式：

输出一个整数表示答案。由于答案可能很大，所以输出其对 1000000007 取模后的值。

思路

快速幂与矩阵快速幂入门

代码（Python）

import os
import sys

# 请在此输入您的代码、
mod = 10 ** 9 + 7
def multi(B, C):
  res = [[0] * 3 for _ in range(3)]
  for i in range(3):
    for j in range(3):
      for k in range(3):
        res[i][j] = (res[i][j] + B[i][k] * C[k][j] % mod) % mod
  return res
def fast_power(A, m):
  res = [[1, 0, 0],
       [0, 1, 0],
       [0, 0, 1]]
  while m > 0:
    if m % 2:
      res = multi(res, A)
    A = multi(A, A)
    m >>= 1
  return res
def main():
  n = int(input())
  f = [0, 1, 2, 5]
  if n <= 3:
    print(f[n])
    return
  mat = [[2, 1, 0],
        [0, 0, 1],
        [1, 0, 0]]
  t = fast_power(mat, n - 3)
  ans = (t[0][0] * 5 + t[1][0] * 2 + t[2][0] * 1) % mod
  print(ans % mod)
main()

代码（Java）

import java.util.Scanner;
// 1:无需package
// 2: 类名必须Main, 不可修改

public class Main {
    private final static int MOD = (int)(1e9 + 7);
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        //在此输入您的代码...
        int n = scan.nextInt();
        int f[] = {0, 1, 2, 5};
        if (n < 4) {
            System.out.println(f[n]);
            return;
        }
        long[][] mat = {{2, 1, 0}, {0, 0, 1}, {1, 0, 0}};
        long[][] t = fastPower(mat, n - 3);
        long ans = (t[0][0] * 5 + t[1][0] * 2 + t[2][0]) % MOD;
        System.out.println(ans);
        scan.close();
    }
    private static long[][] fastPower(long[][] A, int b) {
        long[][] res = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};
        while(b > 0) {
            if ((b & 1) == 1) {
              res = multiply(res, A);
            }
            A = multiply(A, A);
            b >>= 1;
        }
        return res;
    }
    private static long[][] multiply(long[][] A, long[][] B) {
        long[][] res = new long[3][3];
        for (int i = 0; i < 3; ++i) {
            for (int j = 0; j < 3; ++j) {
                for (int k = 0; k < 3; ++k) {
                    res[i][j] = (A[i][k] * B[k][j] % MOD + res[i][j]) % MOD;
                }
            }
        }
        return res;
    }
}