01背包的一维和二维dp解法

问题：
背包最大容量为4，物品如下，问背包能背的物品最大价值为多少？

背包问题关键就在于：对于每个物品，放还是不放，带着这个思想去理解递推公式就很容易了，下面是代码：

def bag_2Dim():  # 01背包的二维dp解法
    # dp[i][j]表示从下标为[0-i]的物品⾥任意取，放进容量为j的背包，价值总和最⼤是多少
    m = 3  # 物品数量
    n = 4  # 背包最大容量
    weight = [1, 3, 4]
    value = [15, 20, 30]
    # m = int(input())  # ACM输入模式
    # n = int(input())
    # weight = list(map(int, input().split()))
    # value = list(map(int, input().split()))

    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m)]
    # 初始化状态
    for i in range(m):
        dp[i][0] = 0  # 背包容量为0时，最大价值一定为0
    for j in range(n+1):  # 不同背包容量下装第0个物品的最大价值
        if j < weight[0]:
            dp[0][j] = 0
        else:
            dp[0][j] = value[0]
    # print(dp)
    for i in range(1, m):  # 先物品
        for j in range(1, n+1):  # 后正序背包
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + value[i])
    return dp[m-1][n]

二维解法比较基础，可以将状态压缩，只留背包容量这一状态。

def bag_1Dim():  # 01背包的一维dp解法
    # dp[j]表示容量为j的背包，所背物品的最大价值价值
    m = 3  # 物品数量
    n = 4  # 背包最大容量
    weight = [1, 3, 4]
    value = [15, 20, 30]

    dp = [0] * (n+1)
    for i in range(m):  # 先物品
        for j in range(n, -1, -1):  # 后倒序背包
            if j >= weight[i]:  # 只有能装下该物品时才能操作
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
    return max(dp)

注意一维dp解法中，遍历背包顺序是从大到小倒序遍历，因为如果从小到大遍历的话，每次取得的状态会和之前取得的状态重合，每个物品被放入了不止一次。如果是完全背包问题(每件物品有无限个)，就得从小到大遍历了，也就是每个物品可以放入背包多次。