程序设计 Week14 矩阵快速幂作业

最新推荐文章于 2025-05-18 18:05:11 发布

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文章标签：动态规划 c++ 算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_44893580/article/details/106606464

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这篇博客介绍了如何使用动态规划和矩阵快速幂解决两个问题：Q老师染砖和度假的快乐值最大化。在染砖问题中，目标是找到使红色和绿色砖块数量均为偶数的染色方案数；在度假问题中，Q老师要通过不同的衬衫搭配获取最大快乐值。文章详细阐述了思考过程和代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

D - Q老师染砖（选做）

题目描述

衣食无忧的 Q老师有一天突发奇想，想要去感受一下劳动人民的艰苦生活。

具体工作是这样的，有 N 块砖排成一排染色，每一块砖需要涂上红、蓝、绿、黄这 4 种颜色中的其中 1 种。且当这 N 块砖中红色和绿色的块数均为偶数时，染色效果最佳。

为了使工作效率更高，Q老师想要知道一共有多少种方案可以使染色效果最佳，你能帮帮他吗？

Input
第一行为 T，代表数据组数。(1 ≤ T ≤ 100)

接下来 T 行每行包括一个数字 N，代表有 N 块砖。(1 ≤ N ≤ 1e9)

Output
输出满足条件的方案数，答案模 10007。

Sample Input

2
1
2

Sample Output

2
6

想法

DP 转移方程
• 根据 DP 状态，仔细思考转移情况即可得到
• A[i] = 2 * A[i-1] + C[i-1]
• B[i] = 2 * B[i-1] + C[i-1]
• C[i] = 2 * A[i-1] + 2 * B[i-1] + 2 * C[i-1]
矩阵快速幂
在这里插入图片描述
然后构造Matrix结构体，重载乘法运算符，构造一个3*3的转移矩阵如上图所示，矩阵的幂次是k-1

代码

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int T,k, b[3]={2,0,2};
const int N = 3,m = 10007;
struct Matrix
{
    int x[N][N];
    Matrix operator*(const Matrix &t) const
    {
        Matrix ret;
        for (int i = 0; i < N; i++)
            for (int j = 0; j < N; j++)
            {
                ret.x[i][j] = 0;
                for (int k = 0; k < N; k++)
                {
                    ret.x[i][j] += x[i][k] * t.x[k][j];
                    ret.x[i][j] %= m;
                }
            }
        return ret;
    }
    Matrix()
    {
        memset(x, 0, sizeof(x));
    }
    Matrix(const Matrix &a) { memcpy(x, a.x, sizeof(x)); }
};
Matrix quick_pow(Matrix a, int k)
{
    Matrix ret;
    for (int i = 0; i < N; i++)
        ret.x[i][i] = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1)
            ret = ret * a;
        a = a * a;
        k >>= 1;
    }
    return ret;
}
int main()
{ 
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
        scanf("%d",&k);
        Matrix my;
        my.x[0][0] = 2;
        my.x[0][1] = 0;
        my.x[0][2] = 1;
        my.x[1][0] = 0;
        my.x[1][1] = 2;
        my.x[1][2] = 1;
        my.x[2][0] = 2;
        my.x[2][1] = 2;
        my.x[2][2] = 2; 
        my = quick_pow(my, k - 1);
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < 3; i++)
            ans += (my.x[0][i] *b[i]) % m;
        cout << ans % m << endl;
    }
    return 0;
}

E - Q老师度假（选做）

题目描述

忙碌了一个学期的 Q老师决定奖励自己 N 天假期。

假期中不同的穿衣方式会有不同的快乐值。

已知 Q老师一共有 M 件衬衫，且如果昨天穿的是衬衫 A，今天穿的是衬衫 B，则 Q老师今天可以获得 f[A][B] 快乐值。

在 N 天假期结束后，Q老师最多可以获得多少快乐值？

Input
输入文件包含多组测试样例，每组测试样例格式描述如下：

第一行给出两个整数 N M，分别代表假期长度与 Q老师的衬衫总数。（2 ≤ N ≤ 100000, 1 ≤ M ≤ 100）

接下来 M 行，每行给出 M 个整数，其中第 i 行的第 j 个整数，表示 f[i][j]。（1 ≤ f[i][j] ≤ 1000000）

测试样例组数不会超过 10。

Output
每组测试样例输出一行，表示 Q老师可以获得的最大快乐值。

Sample Input

Sample Output

2
9

想法

• DP 转移方程
• 根据 DP 状态，不难得到如下的转移方程
• 枚举前一天穿的衣服为 k，即
• f[i][j] = max (f[i-1][k] +h[k][j]) , 1 ≤ k ≤ M
在这里插入图片描述因为我们定义的新矩阵乘符合乘法结合律，所有我们可以运用矩阵快速幂，因为这里的乘法是max(ret.x[i][j], x[i][k] + t.x[k][j]); 所以快速幂ret应为全0

代码

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std; 
int n, m;
const int N = 101;
struct Matrix
{
    long long x[N][N];
    Matrix operator*(const Matrix &t) const
    {
        Matrix ret;
        for (int i = 0; i < m; i++)
            for (int j = 0; j < m; j++)
            {
                for (int k = 0; k < m; k++)
                {
                    ret.x[i][j] = max(ret.x[i][j], x[i][k] + t.x[k][j]); 
                }
            }
        return ret;
    }
    Matrix()
    {
        memset(x, 0, sizeof(x));
    }
    Matrix(const Matrix &a) { memcpy(x, a.x, sizeof(x)); }
};
Matrix quick_pow(Matrix a, int x)
{
    Matrix ret;
    while (x)
    {
        if (x & 1)
            ret = ret * a;
        a = a * a;
        x >>= 1;
    }
    return ret;
} 
int main()
{ 

    while (~scanf("%d%d",&n, &m))
    { 
        Matrix my;
        for (int i = 0; i < m;i++)
            for (int j = 0; j < m;j++)
                scanf("%lld",&my.x[i][j]);
        my = quick_pow(my, n - 1);
        long long ans = 0;
        for (int i = 0; i< m;i++)
            for (int j = 0; j < m; j++)
            {
                ans = max(ans, my.x[i][j]); 
            } 
        cout << ans << endl;
    }
 
    return 0;
}