本周主要复习DFS,BFS,树与图的深度优先遍历,树与图的广度优先遍历,拓扑排序,Dijkstra等内容。
算法总结
dfs
遍历图或树
int dfs(int u)
{
st[u] = true;
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!st[j]) dfs(j);
}
}
bfs
遍历图或树
queue<int> q;
st[1] = true;
q.push(1);
while (q.size())
{
int t = q.front();
q.pop();
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!st[j])
{
st[j] = true;
q.push(j);
}
}
}
拓扑排序
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) //d[i]存储序号为i的点的入度
if (d[i] == 0) //找出一个入度为0的点
{
tt = i;
break;
}
q.push(tt);
ans.push_back(tt); //ans为答案序列
while (q.size())
{
int t = q.front();
q.pop();
for (int i = 0; i < g[t].size(); i ++ )
{
int j = g[t][i];
d[j] -- ;
if (d[j] == 0) //将入度为0的点加入队列
{
q.push(j);
ans.push_back(j);
}
}
}
Dijkstra算法
朴素版
适用于稠密图,用邻接矩阵存储
int g[N][N];
int n, m, d[N];
bool st[N];
int dijkstra()
{
memset(d, 0x3f, sizeof d);
d[1] = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
{
if (!st[j] && (t == -1 || d[j] < d[t])) t = j;
}
st[t] = true;
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
d[j] = min(d[j], d[t] + g[t][j]);
}
if (d[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return d[n];
}
堆优化版
适用于稀疏图,用领接表存储
int di()
{
memset(d, 0x3f, sizeof d);
d[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII> > h;
h.push({0, 1});
while (h.size())
{
PII t = h.top();
h.pop();
int w = t.first, v = t.second;
if (st[v]) continue;
st[v] = true;
for (int i = 0; i < g[v].size(); i ++)
{
PII j = g[v][i];
if (d[j.first] > w + j.second)
{
d[j.first] = w + j.second;
h.push({d[j.first], j.first});
}
}
}
if (d[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return d[n];
}
其它总结
- for each循环中使用&符号可加快运行速度。
- 浮点数二分算法中,循环结束条件一般比题目要求的精度高两个数量级。
- 三分算法可用于求二次函数的最值。
模板
double cal()
{
double l = MIN, r = MAX;
while (r - l > 1e-6)
{
double m1 = l + (r - l) / 3, m2 = l + (r - l) / 3 * 2;
if (f(m1) >= f(m2)) l = m1; //f为函数关系
else r = m2;
}
return f(r);
}
- 全排列有重复元素:通过
if (i && a[i - 1] == a[i] && st[i - 1]) continue;
剪枝(a是排好序的序列,st是标记数组)。 - 用dfs判断是否类型的问题时,dfs的返回类型为bool比void(用标记变量记录)快。
- bfs需要把遍历过的状态标记,防止死循环;一般用d数组表示距离;状态改变后要恢复现场。
- 走迷宫问题记录最短路径时,先反着从终点走到起点并记录上一步的位置,再正着走输出路径。
priority_queue
默认为大根堆,小根堆的定义:priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > h;
- dijkstra算法求最短路需要标记数组。