鞍点问题

#题目描述

若矩阵An*m中某个元素A[i][j]是矩阵第i行中值最小的元素,同时又是第j列中值最
大的元素,则称元素A[i][j]是矩阵中的一个马鞍点。设以二维数组存储矩阵,编写
算法求矩阵A中的所有马鞍点,算法的时间复杂度要尽量的低。
注意当最大值(最小值)并列相等时,会出现多鞍点的情况。
##输入
第一行输入矩阵的总行数M和总列数N,以空格间隔。之后的M行,依次输入矩阵的各行数据,以空格间隔。
4 6
45 67 87 34 56 26
93 75 85 75 92 75
94 85 96 75 78 75
23 17 75 28 98 61~
##输出
若有马鞍点,则以行序为主序,依次输出各个马鞍点。每个马鞍点以(row,col,val)的形式输出,其中row 代表马鞍点的行号,col代表马鞍点的列号,val代表马鞍点的值。若无马鞍点,则输出“NONE”。
(2,4,75)(2,6,75)(3,4,75)(3,6,75)

代码:

#include<stdio.h>
#define M  30
#define N 30

int main() 
{
    int a[M][N];
    int max[M]={0};
    int min[N]={0};
    int m,n;
    int i,j,k,t;
    int flag=0;
    scanf("%d %d",&m,&n);
    //求行最小
    for(i=1; i<=m; i++)
        for(j=1; j<=n; j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    
    for(i=1; i<=m; i++)
    {
        min[i] = a[i][1];
        for(j=2; j<=n; j++)
        {
	    if(a[i][j]< min[i])
	        min[i] = a[i][j];
	}
    }
    //求列最大
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
	max[i] = a[i][i]
	for(j=2; j<=m; j++)
	{
            if(a[j][i] > max[i])
                max[i] = a[j][i];
        }
    }

    for(i=1; i<=m; i++ )
   {
       for(j=1; j<=n; j++)
       {
            if(max[j] == min[i]){
            	flag=1;
            	printf("(%d %d %d)",i,j,a[i][j]);
            }
	}
   }
   if(!flag)
       prtinf("NONE!");
   return 0;
}
	
    
### 凸优化中的鞍点问题 在凸优化领域,尽管凸函数具备许多优良特性,但在某些情况下仍然会遇到鞍点问题。对于严格定义下的凸优化问题而言,由于其目标函数和可域均为凸结构,理论上不会存在传统意义上的鞍点——即既不是极小也不是极大值的临界点[^1]。 然而,在处理更为复杂的非线性规划或者带有约束条件的情况下,可能会面临广义上的鞍点现象。这类情况往往涉及到拉格朗日乘子法的应用场景下所形成的KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件满足的状态之一。当某个点既是原始问题的一个稳定点又是对偶问题最大化方向上的一阶驻点,则该点可以被视作一种特殊的“鞍点”。 #### 解决方案与理论分析 为了有效应对可能出现的此类特殊情形,研究者们提出了多种策略: - **增强正则项**:通过对原模型增加适当的惩罚因子来改变损失曲面形态,使得原本平坦区域变得倾斜从而避开潜在的鞍点位置。 - **改进梯度下降算法**:采用自适应学习率机制(如Adam, RMSprop),这些方法能够动态调整每次迭代的学习速率大小,有助于跳出局部平稳区间的陷阱。 - **随机扰动注入**:向参数更新过程中引入一定量级的小范围噪声干扰,以此打破可能存在的循环往复模式并促使搜索过程继续前进直至找到真正的全局最小值附近。 值得注意的是,在实际应用中特别是涉及大规模数据集训练神经网络时,上述措施常常组合运用以提高求解效率及鲁棒性能表现。 ```python import numpy as np from scipy.optimize import minimize def objective_function(x): """ 定义待优化的目标函数 """ return (x[0] - 2)**2 + (x[1])**2 initial_guess = [-1.5, 1.] # 初始猜测值设定远离最优解的位置 result = minimize(objective_function, initial_guess) print(f'Optimization result: {result.x}') ``` 此代码片段展示了如何利用Python中的`scipy.optimize.minimize()`来进简单的无约束最优化计算实例演示。虽然这里展示的例子并不直接关联到具体的鞍点规避技术实施细节,但是提供了基本框架供进一步扩展开发使用。
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