循环冗余校验CRC的介绍

一、简介
循环冗余校验CRC（Cyclic Redundancy Check）是数据通信领域中最常用的一种差错校验码。该校验方法中，使用多项式出发（模2除法）运算后的余数为校验字段。CRC只能实现检错，不能实现纠错，使用CRC需要双方约定一个生成多项式，此处我们称为G(x)
校验思想：
原始数据将其左移k位，被长度为k+1位的生成多项式相除，所得的k位余数则构成k个校验位。
发送方：在原始信息后追加若干校验位，使得追加的信息能被生成多项式G(x)整除；
接收方：接收到的信息用生成多项式G(x)整除，如没有余数则认为没有错误，否则认为发生错误。
二、举例证明校验位的生成过程
假设原始信息为11001，CRC的生成多项式为G(x)=x^4+x+1
（1）发送方生成发送消息的过程
a确定被除数
方法：在原始信息位后添加r位0校验位—生成多项式的阶数r
本题中为110010000，因为G(x)=x^4+x+1最高阶数为4
b确定除数
方法：从生成多项式中得到，x的幂指数存在的位置为1，不存在的位置为0
本题中为：10011
c生成CRC校验码
方法：使用被除数和除数进行模2除法运算–不进位不借位的除法运算
通过进行如下计算，得到校验码是1101，即最后发送的数据是110011101

说明：最后如不是1101，而是101，则左侧使用0补齐位数，实际为0101.

（2）接收方进行校验
接收方的CRC校验过程与生成过程类似。接收方接收带校验的信息，用多项式G(x)来除。余数为0，则表示信息无误。
如接收方接收到是正确的信息110011101，则校验过程如下：

如接收方接收的是错误信息，则校验过程如下：

三、计算方法补充-模2除法
与算术除法类似，但是每一位除的结果不影响其他位，不向上借位，实际是按位进行异或（相同为0，不同为1）
计算过程：
1、被除数首位是几就商几
被除数的首位为1，商为1
被除数的首位为0，商为0
2、异或运算
3、去首位补末位
异或后，首位一定是0（后续需要舍掉这个0首位）
补末位（或说是落位），再上商

ps：当被除数的位数小于除数时，其余位均为余数