DuHz的博客

在深入了解VMD之前，有必要明确模态的定义。在原始EMD中，模态被定义为局部极值点数量和零交叉点数量最多相差一个的信号。定义1（本征模态函数）utAtcos⁡ϕtutAtcosϕt))其中相位ϕt\phi(t)ϕt是非递减函数（ϕ′t0ϕ′t0），包络AtA(t)At非负（At≥0A(t) \ge 0At≥0），并且非常重要的是，包络和瞬时频率ωtϕ′tωtϕ′t的变化比相位变化慢得多，即A′t≪A。

现有的时间序列分解方法，如小波变换、集合经验模态分解(EEMD)、局部特征尺度分解(LCD)和奇异谱分析(SSA)等，在分析非线性系统信号时存在一些缺陷。特别是当信号更复杂或含有噪声时，LCD和SSA方法往往会将组件信号强制分解为几个不完整的分量。此外，小波变换和EEMD需要用户定义参数，且对这些参数非常敏感。因此，本文提出了一种新的信号分解算法SGMD，旨在将时间序列分解为一组独立的模式分量。

经验小波变换（Empirical Wavelet Transform，简称EWT）是一种较新的信号处理方法，由Gilles于2013年提出。它结合了小波分析和经验模态分解（EMD）的优点，能够自适应地将信号分解为不同频率成分。与传统小波变换使用预定义的基函数不同，EWT根据信号频谱特性自适应构建小波滤波器，从而提供更精确的时频分析。EWT在故障诊断、生物医学信号处理、图像分析等领域展现出了广泛的应用前景。

傅立叶变换作为信号处理领域的基础工具，让我们能够将时域信号转换到频域进行分析。然而，经典的傅立叶变换无法提供信号的时频局部特性，这就催生了短时傅立叶变换(Short-Time Fourier Transform, STFT)的发展。而自适应短时傅立叶变换则是在STFT基础上的进一步优化，使时频分析能够更好地适应信号的非平稳特性。传统的傅立叶变换将信号从时域映射到频域，其数学表达式为：X(f)=∫−∞∞x(t)e−j2πftdtX(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j

在信号处理和压缩感知领域中，我们经常面临这样一个基本问题：如何通过尽可能少的线性测量来完整重建一个高维稀疏信号？具体来说，考虑一个ddd维实信号s∈Rd\boldsymbol{s} \in \mathbb{R}^ds∈Rd，其中只有最多mmm个非零分量（我们称之为mmm-稀疏信号）。信号的稀疏性是指向量中的大多数元素为零，即：∣s∣0=∣i:si≠0∣≤m≪d|\boldsymbol{s}|_0 = |{i : s_i \neq 0}| \leq m \ll d∣s∣0​=∣i:si​=0∣≤m≪d其

离散信号的希尔伯特谱分析是连续信号希尔伯特谱理论在数字信号处理领域的延伸。本文将详细介绍离散希尔伯特变换、离散解析信号以及离散希尔伯特谱的构造与应用。

相位恢复是信号处理中的一个基础问题，它涉及从信号或波的振幅信息中重建其相位信息。在许多实际应用中，我们只能测量信号的强度或振幅，而相位信息却无法直接获取。然而，相位信息往往包含了关于信号的重要特征，因此如何从有限的振幅信息中恢复相位成为了一个关键挑战。

非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization，简称NMF）是一种在机器学习和数据挖掘领域广泛应用的矩阵分解技术。与传统的矩阵分解方法（如奇异值分解SVD）不同，NMF的最大特点是对分解后的矩阵元素施加了非负约束，这使得分解结果具有更好的可解释性，特别适合处理自然界中的非负数据，如图像、文本和音频等。

相位空间重构是非线性动力学系统分析中的一项基本技术，它允许我们从单变量时间序列数据中重建系统的状态空间，从而揭示系统的内在动力学特性。这项技术源于Takens嵌入定理，为研究复杂非线性系统提供了强大的分析工具。相位空间是描述动力系统所有可能状态的空间。对于一个光滑的动力系统，其演化可以表示为一阶常微分方程组：dxdt=F(x,λ,t)\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{F}(\mathbf{x}, \lambda, t)dtdx​=F(x,λ,t)其中x∈Rd\mathbf{x

S变换（S-Transform）是由加拿大学者Stockwell等人于1996年提出的一种时频分析方法，它巧妙地结合了短时傅里叶变换（STFT）的相位特性和连续小波变换（CWT）的多分辨率分析能力。S变换既保留了与傅里叶变换直接联系的绝对相位信息，又具备小波变换随频率变化的分辨率特性，因此得到了广泛应用。S变换可以看作是短时傅里叶变换的一种扩展，其核心思想是使用高斯窗函数作为基本窗口，但窗口宽度会随着频率自适应调整。低频成分使用宽窗口以获得更好的频率分辨率，高频成分则使用窄窗口以获得更好的时间分辨率。这种自

从概率论角度，高斯过程是函数空间上的随机过程。严格地说，若随机函数fX→RfX→R满足：对任意有限集合x1x2xn⊂Xx1​x2​...xn​⊂X，随机向量fx1fx2fxnfx1​fx2​...fxn​))服从多元高斯分布，则称fff是定义在XX上的高斯过程。

哈特利变换是信号处理领域中的一种重要变换方法，由美国科学家拉尔夫·哈特利(Ralph Hartley)于1942年提出。作为傅里叶变换的一种替代方法，哈特利变换具有全实数运算的特点，这使得它在某些应用场景中具有独特的优势。

在信号处理领域，我们经常需要分析包含多个频率成分的复杂信号。传统的傅里叶变换虽然可以将信号从时域转换到频域，但它无法同时提供时间和频率的局部信息。随后发展的短时傅里叶变换（STFT）和连续小波变换（CWT）虽然能够提供时频表示，但存在时频分辨率受海森堡不确定原理限制的问题，导致时频图中能量扩散现象，使得信号的瞬时频率难以精确定位。同步挤压变换由Daubechies等人于2011年提出，旨在克服这些局限性，通过"挤压"时频平面上的能量分布，提高时频表示的分辨率和可读性。同步挤压变换的核心思想是利用信号的相位信

局部线性嵌入（Locally Linear Embedding，简称LLE）是一种非线性降维技术，由Sam Roweis和Lawrence Saul于2000年提出。在数据科学和机器学习领域，我们经常面临高维数据的挑战，而降维技术能帮助我们提取数据的本质特征，简化后续分析。LLE的核心思想非常优雅：它假设高维空间中的数据点位于一个低维流形上，且每个数据点可以通过其邻近点的线性组合来表示。这种局部线性关系在降维过程中被保留，从而在低维空间中重现数据的内在结构。

时频分析是信号处理中的重要领域，旨在同时描述信号在时间和频率域的特性。传统的傅里叶变换虽然能将信号从时域转换到频域，但无法同时提供时间和频率的局部信息。而Choi-Williams分布（Choi-Williams Distribution，简称CWD）作为Cohen类时频分布的一种重要形式，提供了一种有效的方法来分析非平稳信号的时频特性，同时抑制交叉项的影响。在深入了解Choi-Williams分布之前，我们需要先理解时频分析的基本概念。对于非平稳信号，其频率内容随时间变化，这使得仅使用傅里叶变换不足以完全

谱峭度作为非线性信号处理的高阶统计量，其严格数学基础可从随机过程理论出发。考虑一个非平稳随机过程Xt，其四阶谱矩定义为四阶累积量谱的归一化形式。对于频率f，谱峭度SKfSKfS2X2​fC4X​fff​S2X2​fS4X​fff​−2其中C4X​f1​f2​f3​是信号Xt的三谱累积量（即三阶多频谱），S4X​f1​f2​f3​是相应的四阶多频谱，S2X​f。

连续曲波变换可通过如下方式定义。考虑尺度参数a0a > 0a0，方向参数θ∈02πθ∈02π，以及平移参数b∈R2b∈R2φabθxa−34φDa−1Rθ−1x−bφabθ​xa−3/4φDa−1​Rθ−1​x−b其中DaD_aDa​Daa00aDa​a0​0a​​RθR_\thetaRθ​Rθcos⁡θ−sin。

陷波滤波器是一种特殊的滤波器，专门设计用来抑制或消除特定频率的信号，同时对其他频率的信号几乎不产生影响。这种滤波器也被称为陷阱滤波器、带阻滤波器或带阻滤波电路。陷波滤波器的核心思想是在特定频率点（称为陷波频率或中心频率）产生极高的阻抗，从而阻止该频率的信号通过。对于理想的陷波滤波器，其传递函数在陷波频率处的增益为零，而在其他频率处的增益接近于1。实际应用中，由于物理实现的限制，无法实现理想的零增益点，但可以设计出在特定频率处具有极低增益的滤波器。陷波滤波器的基本传递函数可以表示为：H(s)=s2+ω02s2

在介绍传递熵之前，我们需要先深入理解信息熵的概念。HX−∑x∈Xpxlog⁡bpxHX−x∈X∑​pxlogb​px其中pxp(x)px是随机变量XXX取值为xxx的概率，bbb是对数的底，通常取2（比特）、eee（奈特）或10。信息熵可以理解为描述随机变量不确定性的平均信息量。HX−∫Xfxlog⁡bfxdxHX−∫X​fxlogb​fxdx其中fxf(x)

最大熵原理是信息论和统计学习中的重要概念，它基于这样一个思想：在所有满足已知约束条件的概率分布中，熵最大的分布是最合理的选择。这一原理由E.T. Jaynes在20世纪50年代提出，作为概率分布推断的基础理论。

自相关滤波是信号处理领域中一种重要的技术，它利用信号与其自身的相关性来提取有用信息，滤除噪声，增强特定信号特征。自相关是描述信号在不同时间点之间相似度的一个重要指标。对于一个确定性连续时间信号 x(t)x(t)x(t)，其自相关函数 Rxx(τ)R_{xx}(\tau)Rxx​(τ) 定义为：Rxx(τ)=lim⁡T→∞12T∫−TTx(t)x(t+τ)dtR_{xx}(\tau) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x(t)x(t+\tau)

H∞滤波是一种强大的状态估计技术，专为处理具有建模不确定性和外部干扰的系统而设计。与经典的卡尔曼滤波不同，H∞滤波采用了一种"最坏情况"的设计理念，不要求对系统噪声有精确的统计特性了解，因此在实际应用中表现出更强的鲁棒性。H∞滤波源于鲁棒控制理论，其名称中的"H∞"表示Hardy空间中的无穷范数。在函数分析和控制理论中，Hardy空间H∞H_{\infty}H∞​是由解析函数组成的函数空间，其中函数f(z)f(z)f(z)在单位圆盘∣z∣<1|z|<1∣z∣<1内解析，且满足：∥f∥∞=sup⁡∣z∣<1∣

希尔伯特变换是信号处理和数学分析中的一个重要工具，它可以将实信号转换为解析信号，帮助我们更好地分析信号的频率和相位特性。而分数阶希尔伯特变换则是对传统希尔伯特变换的推广，它引入了一个分数阶参数，使变换具有更大的灵活性。在讨论分数阶希尔伯特变换之前，我们需要先了解传统的希尔伯特变换。希尔伯特变换的数学定义为：H[f(t)]=1π∫−∞∞f(τ)t−τdτH[f(t)] = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(\tau)}{t-\tau} d\tauH[f

复杂度度量是计算机科学、信息论、系统科学和诸多其他领域中用于量化系统复杂性的数学工具。信息论为我们提供了度量复杂度的基础工具。克劳德·香农（Claude Shannon）的开创性工作为复杂度度量奠定了理论基础。香农熵是最基本的复杂度度量，用于衡量随机变量的不确定性：H(X)=−∑i=1np(xi)log⁡2p(xi)H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_2 p(x_i)H(X)=−i=1∑n​p(xi​)log2​p(xi​)其中，p(xi)p(x_i)p(xi​)是随机变量

沃尔什-哈达玛变换(Walsh-Hadamard Transform，简称WHT)是信号处理领域中一种重要的正交变换方法，它使用方波函数作为基函数，而非正弦和余弦波形。作为一种全实数、二值化的变换技术，WHT具有独特的数学结构和性质。本文将从基础概念到高级理论，全面且通俗地解析沃尔什-哈达玛变换的数学基础和内在原理。沃尔什-哈达玛变换源于两位数学家的工作：约瑟夫·沃尔什(Joseph Walsh)和雅克·哈达玛(Jacques Hadamard)。1923年，沃尔什首次引入了一组完备的正交方波函数系统，称为

形态学滤波器是数字图像处理中的一类重要工具，基于数学形态学理论发展而来。它通过与结构元素的交互作用，对图像进行非线性处理，可有效地提取图像的形状特征，去除噪声，增强轮廓等。数学形态学的核心思想基于集合论，将图像视为集合。对于二值图像，可以表示为集合 X⊆Z2X \subseteq \mathbb{Z}^2X⊆Z2，其中 (i,j)∈X(i,j) \in X(i,j)∈X 代表坐标 (i,j)(i,j)(i,j) 处的像素值为1。对于灰度图像，可表示为函数 f:Z2→Rf: \mathbb{Z}^2 \rig

贝叶斯信号处理是一种融合概率论与信号处理的强大方法，它通过贝叶斯框架来处理信号中的不确定性。贝叶斯理论的核心是贝叶斯定理，它提供了一种在获得新证据后更新信念的方法。在信号处理中，我们经常需要从含噪声的观测中推断出原始信号，贝叶斯方法恰好提供了一个严谨的框架。贝叶斯定理可表述为：P(θ∣y)=P(y∣θ)P(θ)P(y)P(\theta|y) = \frac{P(y|\theta)P(\theta)}{P(y)}P(θ∣y)=P(y)P(y∣θ)P(θ)​其中：从信息论角度看，贝叶斯更新可以理解为从先验分布到

局部极值点与零交叉点数量相差不超过1。局部均值接近于零。SDk∑t1T∣hkt−hk−1t∣2∑t1T∣hk−1t∣2SDk​∑t1T​∣hk−1​t∣2∑t1T​∣hk​t−hk−1​t∣2​当SDkSD_kSDk​小于预设阈值（通常取0.01或0.001）时，迭代停止，认为已找到一个IMF。

时频分析是信号处理领域的一个重要分支，它研究信号在时间和频率两个维度上的联合特性。传统的傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，但它无法同时提供信号在时间和频率上的局部特性。为了解决这个问题，研究者们提出了各种时频分析方法，其中Cohen类分布是一类重要的时频分析工具。Cohen类分布是一族满足特定数学性质的二维时频分布函数，它们提供了信号在时频平面上的能量分布描述。这类分布包含了许多著名的时频分析方法，如Wigner-Ville分布、Choi-Williams分布和Born-Jordan分布等。在深入探讨C

多率滤波(Multirate Filtering)是数字信号处理中的一项核心技术，它通过改变信号的采样率来实现更高效的信号处理。多率信号处理的核心思想是在单一系统中使用不同的采样率处理信号。传统的信号处理系统通常在固定采样率下工作，而多率系统允许我们根据实际需求动态调整采样率，从而在保证信号质量的同时降低系统复杂度和计算负担。假设我们有一个离散时间信号 x[n]x[n]x[n]，其采样率为 fsf_sfs​。多率处理允许我们将该信号的采样率提高（插值）或降低（抽取），以适应不同的处理需求。抽取(Decima

Kravchuk多项式是由乌克兰数学家Mikhail Kravchuk在20世纪20年代提出的一类离散正交多项式。Knpx∑k0n−1kxkN−xn−k1−pn−kpk1−pnKnp​xk0∑n​−1kkx​n−kN−x​1−pn1−pn−kpk​nnn是多项式的阶数，0≤n≤N0≤n≤Nxxx是变量，0≤x≤N0≤x≤Nppp。

多相滤波器是数字信号处理中的一种重要技术，特别适用于采样率变换应用。它通过将单个滤波器分解为多个"相位"子滤波器，可以有效地实现信号的抽取和插值操作。

Chirplet变换是信号处理领域中一种强大而灵活的分析工具，它拓展了传统的时频分析方法，特别适合分析具有频率调制特性的非平稳信号。在深入探讨Chirplet变换之前，我们需要了解其产生的背景。传统的时频分析方法如短时傅里叶变换(STFT)和小波变换(WT)各有所长：STFT提供固定分辨率的时频分析，而小波变换则提供多分辨率分析能力。然而，对于具有频率快速变化特征的信号，如啁啾信号(chirp signals)，这些方法往往无法提供理想的时频表示。Chirplet变换正是为解决这一问题而诞生的。它结合了ST

信号处理是现代信息科学的核心，而时频分析作为信号处理的重要手段，为我们提供了同时观察信号在时域和频域特征的强大工具。传统的傅里叶分析将信号分解成不同频率的正弦波，但这种方法只能反映信号的频率组成，而无法体现频率随时间的变化规律。而在实际应用中，众多信号（如语音、雷达、地震等）都是非平稳的，其频率特征随时间变化。时频分析恰好弥补了这一缺陷，使我们能够捕捉信号动态特性。在探讨具体的时频特征之前，我们需要先深入理解信号的时频表示方法。最常用的时频分析工具包括短时傅里叶变换（STFT）、小波变换、Wigner-Vi

t-SNE（t-distributed Stochastic Neighbor Embedding）是一种广泛应用于高维数据可视化的非线性降维技术，由Laurens van der Maaten和Geoffrey Hinton于2008年提出。与传统的降维方法相比，t-SNE特别擅长保留数据的局部结构，使得降维后的数据在低维空间中能够更好地展现高维数据的聚类特性。

分数阶傅立叶变换可以被视为普通傅立叶变换的分数次幂。对于任意实数α，函数fffFαfu∫−∞∞KαuxfxdxFα​fu∫−∞∞​Kα​uxfxdx其中KαuxKα​uxKαux1−icot⁡α2πexp⁡icot⁡α2u2x2−icsc⁡α⋅ux当α≠nπδu−x当α2nπδux当α2n±1π。

同步特征提取是信号处理和数据分析领域中的一项关键技术，它通过捕获和分析同步发生的数据特征，为信号识别、分类和预测提供了强大的工具。同步特征提取的核心在于揭示多信号间的内在关联性和协同动态特性，这种关联性往往包含了系统更本质的信息。同步特征提取是指从多个同时采集的信号或数据流中提取具有时间同步性的特征的过程。与传统的单一信号特征提取不同，同步特征提取关注的是多信号间的时间关联性和协同变化特性。这种方法能够捕获单一信号分析所无法获取的系统整体动态特性。从数学角度看，设在时间序列 T={t1,t2,…,tN}\m

本文系统阐述了相似性分析的数学基础与核心度量方法。首先介绍了度量空间的基本公理，包括非负性、对称性和三角不等式。随后详细推导了欧几里得距离、曼哈顿距离、余弦相似度、Jaccard系数和Pearson相关系数等核心度量方法的数学原理，揭示了它们之间的内在联系和转换关系。文章通过严格的数学证明展示了这些度量如何满足度量空间公理，并深入分析了它们的梯度特性及在不同应用场景中的理论基础。为相似性分析在数据科学和人工智能领域的应用提供了坚实的数学支撑。

自适应信号处理方法能够根据输入信号特性自动调整参数，主要包括LMS、RLS和NLMS算法。LMS算法通过梯度下降最小化均方误差，收敛条件与输入信号的自相关矩阵特征值有关；RLS算法基于递归最小二乘准则，具有快速收敛特性，其性能由遗忘因子控制；NLMS算法是对LMS的改进，通过归一化步长提升稳定性。这些方法在噪声消除、系统辨识等应用中发挥重要作用，其中LMS适用于简单系统，RLS适合高精度需求，NLMS则在输入功率变化时表现更稳健。

相关滤波器目标跟踪技术源于信号处理的匹配滤波理论，通过计算模板与图像区域的相似度实现目标定位。MOSSE算法开创性地将跟踪问题转化为频域优化问题，利用高斯响应和在线更新机制实现高效跟踪。KCF算法进一步引入核方法和循环矩阵理论，通过岭回归框架和频域对角化技术大幅提升性能。该技术核心优势在于将空间域$O(n^4)$计算复杂度降至频域$O(n^2 \log n)$，为实时视觉跟踪奠定了数学基础，其中循环矩阵对角化理论是保证计算效率的关键数学工具。