DuHz的博客

从输入信号中取固定长度NNN的一批采样数据，将其全部求和再除以NNN，得到一个标量平均结果或一个新的输出点；常见于离线处理或对实时性要求不高的测量设备。使用一个长度为MMM的“滑动窗口”，在时间序列xnx[n]xn上不断向前移动，每滑动一步就计算窗口内所有数据的平均值作为新的输出yny[n]yn；又称“移动平均（Moving Average）滤波器”。通过递归公式，让新的输出yny[n]yn是上一时刻输出yn−1y[n-1]yn−1和当前输入xn。

线性系统满足叠加原理：对于输入信号x1tx_1(t)x1​t产生输出y1ty_1(t)y1​t和x2tx_2(t)x2​t产生输出y2ty_2(t)y2​t，则对常数系数aba, babxtax1tbx2t⟹ytay1tby2txtax1​tbx2​t⟹ytay1​tby2​t非线性系统。

非平稳随机过程：其均值、自相关等统计量随时间而变，无法使用平稳理论中的单变量自相关或全局功率谱简单描述。线性时不变系统对非平稳噪声的处理输出的均值函数可由输入均值函数与系统脉冲响应的卷积myt∫mxτht−τdτmy​t∫mx​τht−τdτ输出的自相关函数需用双重卷积Ryt1t2∫⁣ ⁣∫Rxαβht1−αht2−βdαdβ= \int \!Ry​t1​t2​。

时域卷积与频域乘法是分析线性时不变系统最重要的两个视角；对平稳随机过程xtx(t)xt，其输入统计量(均值、相关函数、功率谱)通过系统后会被相应的系统特性hth(t)ht或HωH(\omega)Hω)改变：均值在理想情况下会按∫htdt∫htdt进行缩放；输出自相关函数RyτR_y(\tau)Ry​τ在时域是RxτR_x(\tau)Rx​τ与hth(t)ht的卷积形式，在频域则简单地由Syω∣Hω∣2。

局部均值分解（Local Mean Decomposition，LMD）是一种在时域对非平稳、非线性信号进行自适应分解的方法。它与经验模态分解（EMD）都属于数据驱动的分解技术，无需先验基函数。LMD将信号分解为一系列具有调幅-调频特征的乘积函数（Product Function，PF），每个PF可以写成一个瞬时幅值（包络）与一个频率随时间变化的正弦载波的乘积形式，从而在时域直接体现出瞬时幅值与瞬时频率。在LMD中，每一步都需要对当前信号（或剩余信号）估计其局部均值(local mean)和。

集合经验模态分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD）是针对经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）容易出现的模态混叠（Mode Mixing）问题所提出的改进算法。EEMD通过向原始信号多次添加白噪声并分别进行EMD分解，最后对所有分解结果做统计平均，从而显著降低模态混叠，提高分解的稳健性。

在数据分析与统计建模中，度量两个随机变量之间的依赖关系是一项非常重要的任务。我们最常用的方法是相关性（Correlation），如皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient），可以定量衡量变量之间的线性关系。然而，当变量间存在非线性乃至更复杂的依赖结构时，相关系数往往力不从心。此时，互信息（Mutual Information, MI）可以提供更通用的度量。本文通过相当多的数学公式，配合通俗解释，带你从多个角度理解相关性和互信息这两种重要概念。

离散余弦变换（DCT, Discrete Cosine Transform）是信号处理和图像处理领域中最常用的离散变换之一。在JPEG图像压缩、音频编码(MP3/AAC)、视频编解码等众多应用里都能看到它的身影。与离散傅里叶变换（DFT）相比，DCT仅使用了余弦基函数，从而具备了更好的实值性质和边界延拓特性（通常默认为镜像边界延拓）。在稀疏表示的范畴里，DCT基常常对于平滑或准平滑的自然信号（如图像、语音）呈现能量集中于低频分量的特点，从而可以较少系数获得准确表征，实现稀疏或近似稀疏表示。令图像块或矩阵。

小波（Wavelet）技术是当代信号处理与数据分析的重要工具，与傅里叶方法等经典技术相比，小波具有良好的局部时频刻画能力。在稀疏表示、数据压缩、信号去噪等方面都发挥着巨大作用。本文将围绕小波的核心理论及其在稀疏基中的地位展开，并配以相对详细的数学公式。设Vjj∈ZVj​j∈Z​是在L2RL2R⋯⊂V−1⊂V0⊂V1⊂⋯⋯⊂V−1​⊂V0​⊂V1​⊂⋯且⋃j−∞∞Vj⋃j−∞∞​Vj​在。

傅里叶基 (Fourier Basis)是信号处理和压缩感知中最常用的一种稀疏基。当信号的主要能量分布在少量的频率分量上时，其在傅里叶域（频域）往往表现出显著的稀疏性。傅里叶基的核心思想源于用正弦和余弦或复指数函数对信号进行线性组合，从而刻画各种不同频率成分。在离散情形下，我们常用离散傅里叶变换 (DFT)来构造傅里叶基矩阵。该矩阵可以将时域（或空域）信号映射到频域。若频域系数大部分为零或接近零，便体现了信号在该基下的稀疏性。

在压缩感知 (Compressed Sensing, CS)中，为了利用信号的稀疏性 (Sparsity)来实现更少测量情况下的精确或近似重构，我们需要找到一个合适的稀疏基 (Sparse Basis)或者称为字典 (Dictionary)。理想情况下，信号在该基或字典下的表示系数有很少的非零元素（或大部分元素接近 0），从而利于后续的稀疏重构。在信号处理或数学中，一个长度为NNN的离散信号x∈RNx∈RN若可以写成xΦαxΦαΦ∈RN×KΦ∈RN×。

梳状滤波器（Comb Filter）的实现思路：把信号的当前样本与其“延时MMM样本”的值叠加或者相减，在频域就会出现周期性带阻或带通。其零点(带阻) 或极点(带通) 呈等间隔分布，对应于谐波消除或谐波增强非常便捷。延时MMM的选取与待消除（或保留）的基频ω0\omega_0ω0​Mfsf0(离散系统中常选最简整数近似)M = \frac{f_s}{f_0} \quad \text{(离散系统中常选最简整数近似)}.Mf0​fs​​。

假设有一个NNN维向量xx1x2⋮xN∈RNx​x1​x2​⋮xN​​​∈RN如果仅有K≪NK \ll NK≪N个分量为非零，则称x\mathbf{x}x是KKK-稀疏 (K-sparse)。在实际应用中，很多信号本身并不一定在时域/空域就稀疏，但往往在某个变换域（如傅里叶变换、小波变换、离散余弦变换等）下可以逼近稀疏。例如，令ΨΨ为某个N×NN\times NN×N的可逆(或正交)变换矩阵，令αα为x。

SNRPsignalPnoiseSNRPnoise​Psignal​​PsignalPsignal​：信号功率PnoisePnoise​：噪声功率当SNR≫1SNR≫1时，系统受到的噪声影响较小；反之噪声可能淹没信号。提高SNR是一个系统性工程，需要硬件与软件、前端与后端协同优化。从硬件的选型、滤波、屏蔽、布局，到软件的采样率、编码、滤波、均衡、匹配检测等各个环节，都有助于削弱噪声、增强信号。减少噪声源头。

小波变换将信号分解为多个不同尺度和频率的成分，帮助我们分析信号在不同层次上的变化。通过小波变换，我们不仅能够捕捉信号的局部细节，还能保留信号的低频趋势。在这篇文章中，我们将深入探讨小波分解后的信号代表了什么，它们在不同应用中的意义，以及如何理解这些分量。

在离散小波变换（DWT）中，的选择至关重要。不同的小波基具有不同的数学特性，这些特性直接影响信号分解和重构的效果。本文将详细介绍不同小波基的选择，以及如何根据实际应用需求来选择合适的小波基。我们将讨论小波基的定义、特点、常用的小波基类型，并通过数学公式加以说明。

离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种信号处理技术，通过多尺度分析信号的局部特征，广泛应用于信号压缩、去噪、特征提取等领域。与传统的傅里叶变换不同，DWT能够更好地分析具有局部变化的信号。本文将详细介绍DWT的基本概念、数学原理、算法步骤、应用等内容。

信息熵是用来衡量信息的不确定性或复杂性的数学工具。在信号分析中，信息熵常用于衡量信号的复杂度、无序程度和信息量。基于信息熵的特征指标有很多，常见的包括功率谱熵、奇异谱熵和能量熵。它们通过对信号频域、奇异值和时域能量分布的分析，反映了信号的复杂性。接下来我们将详细介绍这些基于信息熵的特征指标。

在信号分析中，频域分析是通过傅里叶变换将信号从时域转到频域，帮助我们理解信号的频谱特性。频域特征指标是用来描述信号频谱特性的重要工具，常见的频域特征指标包括：重心频率、均方频率、均方根频率、频率方差和频率标准差。下面我们将详细讲解这些频域特征指标。

在信号处理领域，时域分析是最基本的分析方法之一。为了对信号进行有效的分析和描述，研究者们引入了一些无量纲的指标，帮助我们更直观地了解信号的特性。下面将详细介绍几个常见的无量纲指标，包括：峰值因子、脉冲因子、裕度因子、峭度因子、波形因子和偏度。

当我们在分析非平稳或非线性信号的频率特征时，仅使用传统的傅里叶变换往往难以捕捉随时间变化的频率信息。为此，人们提出了多种时频分析方法：如短时傅里叶变换（STFT）、小波变换以及希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform, HHT）等。HHT的基本思路：先用本征模态分解（EMD）将原始信号分解为若干本征模态函数(IMF)。然后对每个IMF做希尔伯特变换，获取瞬时幅值、瞬时相位与瞬时频率，并汇总到希尔伯特谱(Hilbert Spectrum)中。

对于很多在实际生活、工业生产、医学检测中遇到的非平稳、非线性信号，传统的时频分析方法（如傅里叶变换、短时傅里叶变换STFT、小波变换等）有一定局限：往往需要事先假设或选择某种基函数，或者频率分辨率与时间分辨率无法同时兼顾。本征模态分解（EMD, Empirical Mode Decomposition）：将原信号分解为若干个自适应的、本征模态函数（IMF）。希尔伯特谱（Hilbert Spectrum）：对每个IMF做希尔伯特变换，提取瞬时幅值和瞬时频率，并将它们在时频平面中以幅值或能量的形式可视化。

群时延（Group Delay）是描述信号在传播过程中，不同频率成分的传播时间差异的物理量。简单来说，群时延反映了信号的不同频率分量到达接收端的时间差异。群时延的概念通常用于描述一个信号或系统对不同频率成分的处理方式。群时延的大小和信号的频率响应密切相关。如果一个系统的群时延在不同频率下是恒定的，那么该系统对信号的频率成分没有“失真”效应。群时延对信号的影响在很多领域中都非常重要，特别是在通信、音视频处理和光纤通信等领域。群时延通常定义为信号在传输过程中，信号的相位随着频率变化的速度的倒数。

尽管零相位滤波在实时应用中的使用受限，但通过不断的研究和技术创新，未来有可能出现更多的优化方法，帮助我们在实时信号处理和多维信号分析中更好地利用零相位滤波技术。近年来，基于小波变换等方法的滤波技术逐渐得到应用，通过跨越不同域的分析，能够在不同频段或时段同时进行信号去噪，提升零相位滤波的效果。例如，在生物医学领域，ECG（心电图）信号的R波峰值定位对诊断至关重要，如果滤波器导致R波的时序出现偏移，则可能错过重要的诊断信息。实现零相位的滤波方法需要消除滤波器的相位响应，使得滤波后的信号在时间上保持一致。

Chirp-Z变换（CZT）是一个非常强大的工具，它能够在频域中实现。这意味着它能够根据需要在不同的频率区域内提供不同的分辨率。与传统的离散傅里叶变换（DFT）不同，CZT不使用固定的频率间隔，而是通过来控制分析的精细程度。

Chirp-Z变换（CZT）是一种与传统的离散傅里叶变换（DFT）类似的变换，但它允许对信号进行更灵活的频域分析。标准的DFT对整个频谱进行均匀分辨，而CZT通过选择非均匀的频率间隔来提供更精细的控制，允许信号在特定的频率范围内得到更高的分辨率。

在基于局部极值提取或频域带宽最小化等技术的信号处理（例如 EMD, VMD, EEMD, CEEMDAN, MEMD 等）中，通常需要在信号两端对包络或模态进行估计。但由于原始数据在最前端和最后端往往缺乏充分上下文，这就导致了边界效应：算法可能在信号末端产生伪振荡、过度拟合或不连续的波形，影响分解质量。为减弱边界效应，人们提出了各种“延拓”技术，例如镜像延拓、多项式外推、时序模型预测等。然而，常规方法往往无法根据实际信号的非平稳或多分量特性灵活适配。自适应边界方法。

自从在 2014 年提出变分模态分解 (Variational Mode Decomposition, VMD)后，围绕该框架已出现许多改进与扩展。传统 VMD 对单通道时间序列进行带宽最小化分解，在实际应用中，研究者们为满足多样的信号类型（多通道、图像、复数信号等）和不同的分析需求（自适应参数、加权策略、集成算法等），提出了各种细分与衍生方法。这些方法在工程、医学、生物、经济等领域均有应用价值。下面将详细介绍常见的 VMD 细分种类，并结合其主要特点、公式或思路。

在信号处理、时频分析、故障诊断等诸多领域，如何将一个复杂信号进行多分量分解，进而提取到其中所包含的不同频率成分，一直是重要且基础的研究方向。传统上，经验模态分解 (EMD)及其改进方法（如 EEMD、CEEMDAN）在非线性、非平稳信号分析中有非常广泛的应用。然而它们也存在一些模态混叠端点效应算法鲁棒性较弱等不足。变分模态分解（Variational Mode Decomposition，简称 VMD）是 2014 年由 Dragomiretskiy 和 Zosso 提出的一种新的信号分解方法。

希尔伯特变换(HilbertTransform)在现代信号处理和通信领域拥有广泛的应用，如包络检测单边带调制瞬时频率分析和语音处理等。它可以将一个实信号映射到其正交信号，进一步与原信号构成解析信号(AnalyticSignal)。在本章节中，我们将从最基础的连续域数学定义出发，结合频域推导与典型积分公式，给出希尔伯特变换的严格理论以及在离散实现中的一些关键细节。对一个实值信号xtx(t)xt，其希尔伯特变换xt\hat{x}(t)xtxtHxt1πpv∫。

（Robust Statistics）关注的是当假设略有偏离或有少量异常值时，统计估计仍保持“稳定”或“可接受”的性能。稳健回归想要实现的目标是：在估计回归参数时，对“大残差”或“异常值”做出相对更弱的响应，也就是“降低”这些离群点对整体拟合的影响，从而使得模型对于少量异常值更加不敏感。，它的平方就会对总体目标造成巨大贡献，从而在优化过程中“牵着”模型参数走，导致对少数异常点的过度拟合，损害整体模型的预测与解释能力。它用某个更“稳健”的损失函数。它“截断”了过大的残差，避免了它们对最终参数的强影响。

支持向量回归（SVR）是支持向量机（SVM）在回归分析中的应用。与传统的回归方法不同，SVR不仅关注预测值与实际值之间的误差，还致力于在高维空间中寻找一个能够容忍一定误差范围内的最优超平面。SVR具有良好的泛化能力，能够有效处理高维数据和非线性关系，广泛应用于金融预测、工程建模、生物医学等多个领域。支持向量回归（，简称SVR主要优势强大的泛化能力：通过最大化间隔，SVR能够有效避免过拟合，具有良好的泛化性能，适用于高维和复杂的数据集。处理高维和非线性数据。

毫米波属于电磁波谱中的高频段，波长在1毫米到10毫米之间，频率范围大约在30 GHz到300 GHz之间。高频率与高带宽：使其具有高分辨率和高速数据传输能力。良好的穿透性：能够穿透衣物和轻微障碍物，适用于非接触式监测。低能量：对人体无害，适合长时间监测。本文详细介绍了利用经验模态分解（EMD）与希尔伯特-黄变换（HHT）处理毫米波感知心率信号的方法。通过对EMD和HHT的原理、数学基础、实现步骤及实际应用的深入解析，展示了这两种方法在非线性、非平稳信号处理中的强大能力。

检波是信号处理中的一个关键步骤，主要用于从调制信号中提取原始信息。不同的检波方法适用于不同类型的调制方式和信道条件。常见的检波方法包括包络检波、同步检波、相干检波、非相干检波、平方律检波、微分检波、锁相环检波以及匹配滤波检波等。每种方法都有其独特的工作原理和适用场景，理解它们的数学基础有助于更好地应用于实际系统中。检波方法在通信系统中起着至关重要的作用，选择合适的检波方法能够显著提升系统性能。通过对各种检波方法的详细理解和数学建模，工程师可以根据具体应用需求，设计出高效、可靠的信号检测方案。

除了上面提到的零填充、插值、整周期采样、加窗等常规手段外，一些高精度的频率估计算法(如ESPRIT、MUSIC等子空间方法)也能在多信号分量情况下做较好的频率估计，本质上也是试图解决不对齐所带来的种种问题。不过这些方法通常实现更复杂，适合高精度和特定需求的场合。先做合适的窗函数(减少泄露)，再通过零填充增加离散频谱的采样点，然后通过一个简单的三点插值估计主频与幅值，就能极大缓解栅拦效应给频率和幅度测量带来的误差。如果再有可能的话，就让信号周期和采样条件对齐，那就几乎能“完美”地消除此问题。

整周期采样：如果我们能让信号频率f0f_0f0​与采样频率fsf_sfs​、FFT长度NNN满足f0k⋅fsNf0​Nk⋅fs​​（其中kkk是整数），那么每段截断就不会“切断”波形的一个周期，频谱泄露会显著降低。可现实中，这种理想条件常常难以满足。零填充：零填充增加了FFT点数，也就是在频域做更细的离散采样，使得波形峰值位置更好观察，同时也有利于后续插值处理。更复杂信号的处理。

为了让这一概念更具可操作性，我们先给出最常见的数学定义。对于连续时间情形，如果xtx(t)xt和yty(t)yt是两个已知信号，则它们的互相关函数RxyτRxy​τRxyτ∫−∞∞xtytτdtRxy​τ∫−∞∞​xtytτdt若我们面临的是随机过程，为了反映平均行为，则往往加上期望算子写成RxyτExtytτRxy​τExtytτ对于离散时间情形，如果。

数学上，自相关函数的定义可以分为连续时间和离散时间两种情况。自相关函数作为分析信号或数据序列内在特性的核心工具，在理论和实践中都有广泛应用。通过本文的详细讲解和代码示例，相信读者能够掌握其基本概念、数学定义、性质及应用场景，同时可以使用提供的代码对实际信号进行自相关分析，进一步深化对这一工具的理解。

非参数假设检验，又称分布自由检验，是一类不依赖于数据分布特定形式的统计检验方法。与参数检验不同，非参数检验不需要对总体分布作出严格假设（如正态性），因此具有更广泛的适用性。分布无关性：不依赖于数据的具体分布形式，适用于各种类型的数据。对异常值的耐受性：由于基于秩或符号，非参数检验对数据中的异常值不敏感。适用范围广泛：可用于不同类型的数据分析，如比较中位数、检验相关性、拟合度检验等。非参数假设检验作为统计分析中的重要工具，因其对数据分布的低要求和对异常值的高耐受性，在实际应用中具有广泛的适用性。

稳健统计是一类统计方法，其主要特征是在数据中存在异常值或模型假设被部分违反的情况下，仍能提供可靠的估计和推断。这些方法不依赖于数据严格满足某些假设（如正态分布），因此在面对现实世界中复杂多变的数据时表现出更强的适应性。稳健统计旨在通过设计对模型假设不敏感的统计量，使得估计量在部分假设被违反时仍能保持较好的性能。M估计是稳健估计方法中最基本的一类，通过最小化某种目标函数来估计参数。具体来说，对于参数θ\thetaθ∑i1nψyiθ0i1∑n​ψyi​θ0其中，ψ。