Nearest Common Ancestors (LCA)

最新推荐文章于 2023-06-02 21:01:49 发布

Weaver丶

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分类专栏：图论 LCA

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本文介绍了在数据结构中树的应用，并详细解释了最近公共祖先（LCA）的概念，通过示例说明了如何确定两个节点的LCA。文章提供了解题思路，包括倍增法求解LCA的步骤，以及预处理所需变量的定义。最后，给出了求解LCA问题的代码片段。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

数据结构中的树，在计算机科学中是非常重要的，例如我们来看看下面这棵树：
在这里插入图片描述

在图中我们对每个节点都有编号了。 8号节点是这棵树的根。我们定义，一个子节点向它的根节点的路径上，任意一个节点都称为它的祖先。例如， 4号节点是16号节点的祖先。而10号节点同样也是16号的祖先。事实上，16号的祖先有8，4，10，16共四个。另外8， 4， 6，7都是7号节点的祖先，所以7号和16号的公共祖先是4和8号，而在这两个里面，4号是距离7和16最近的一个，所以我们称7号和16号的最近公共祖先是4号。

再例如，2和3的最近公共祖先是10，再例如6和13的是8。

现在你需要编写一个程序，在一棵树中找出指定两个节点的最近公共祖先

Input
第一行输入T表示有T组数据。每组第一行是N表示这棵树有多少个节点，其中 2<=N<=10,000。节点用正整数1, 2,…, N表示。接下来的 N -1 行表示这棵树的边，每行两个数，都是节点编号，前一个是后一个的父节点。最后一行是要查询的两个节点，计算出这两个节点的最近公共祖先
Output
对于每组测试输出一行，输出它们的最近公共祖先的编号。
Sample Input

Sample Output

4
3

解题思路：这个题就直接套LCA的板子就可以啦，我们先来讲一下LCA叭，
求LCA有三种方法（我知道的，可能有其他的，我太菜了，不知道），分别是并查集，RMQ，和倍增，这里我们来讲一下倍增，我们先介绍一下所需的变量。
lg[x]:表示2^lg[x]是大于x的最小的数。
depth[x]:表示结点x在树中的深度。
f[u][i]:表示结点u的第2ⁱ位祖先。

倍增法的过程是：
1：先预处理出每个点的2的指数倍的祖先结点。
2：再寻找的时候，先让两个结点的深度相同，处理方法为找到较深的结点的与另一个结点相同深度的祖父结点。
3：此时如果是两个结点相同，那么答案就是本身，否则执行步骤4。
4：寻找两个结点中不相等的祖先结点，然后去寻找祖先结点的祖先结点，一直到找不到为止。

注意：在执行步骤4时，需要从最大的2的指数倍开始找，原因是：
如果从小开始找，比如LCA是结点的第17辈的祖先，
那么我们找就是 1+2+4+8=15，这个时候还差2才可以得到第17位，这里就要后悔，要返回前面的操作，而我们从大往小找的话：16+1=17，就只需要两步就得到答案啦。
代码：

#pragma GCC optimize(2)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
#include <bitset>
#include <queue>
//#include <random>
#include <time.h>
using namespace std;
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define ls root<<1
#define rs root<<1|1
const int maxn = 1e4 + 7;
//std::mt19937 rnd(time(NULL));
struct edge
{
    int v,next;
}e[maxn];
int cnt,head[maxn],f[maxn][20],depth[maxn],lg[maxn];
void add(int a,int b)
{
    e[++cnt]=edge{b,head[a]};
    head[a]=cnt;
}
void dfs(int u,int fa)
{
    f[u][0]=fa;
    depth[u]=depth[fa]+1;
    for(int i=1;(1<<i)<=depth[u];i++){
        f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
    }
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].v;
        dfs(v,u);
    }
}
int getlca(int a,int b)
{
    if(depth[a]<depth[b])swap(a,b);
    while(depth[a]>depth[b]){
        a=f[a][lg[depth[a]-depth[b]]-1];
    }
    if(a==b)return a;
    for(int i=lg[depth[a]]-1;i>=0;i--){
        if(f[a][i]!=f[b][i]){
            a=f[a][i],b=f[b][i];
        }
    }
    return f[a][0];
}
signed main()
{
    int t;
    scanf("%lld",&t);
    for(int i=1;i<maxn;i++){
        lg[i]=lg[i-1]+((1<<lg[i-1])==i);
    }
    while(t--){
        int n;
        scanf("%lld",&n);
        memset(head,0,sizeof head);
        cnt=0;
        int root=n;
        for(int i=1;i<n;i++){
            int a,b;
            root^=i;
            scanf("%lld%lld",&a,&b);
            root^=b;
            add(a,b);
        }
        dfs(root,0);
        int u,v;
        scanf("%lld%lld",&u,&v);
        printf("%lld\n",getlca(u,v));
    }
}