循环队列实现杨辉三角（两种输出形式）

问题导入什么是杨辉三角呢？之前用过C/C++数组实现过打印杨辉三角，那么如何使用队列来实现呢？

1、什么是杨辉三角

杨辉三角（也称帕斯卡三角）相信很多人都不陌生，它是一个无限对称的数字金字塔，从顶部的单个1开始，下面一行中的每个数字都是上面两个数字的和。

1.1 图形

下图就是杨辉三角前7行

1.2 特点

杨辉三角的实质是二项式(a+b)ⁿ展开后各项的系数排成的三角形。

特点如下：
	1、各行的第一个数都是1
	2、各行的最后一个数都是1
	3、从第3行起，除上面指出的第一个数和最后一个数外，其余各数是上一行同列和前一列两个数之和。

2、什么是队列

2.1 队列的定义

队列(queue)是一种先进先出(First In First Out, FIFO) 的线性表。它只允许在表的一端进行插入，而在另一端删除元素。这和日常生活中的排队是一致的，最早进入队列的元素最早离开。在队列中，允许插入的一端称为队尾(rear),允许删除的一端则称为队头(front)。

2.2 队列的常用公式

一般使用循环队列（提高空间的利用率）

初始化：				Q.front = Q.rear = 0;
入队操作：			Q.rear=( Q.rear+1 )%MaxQueueSize;
出队操作：			Q.front=( Q.front+1 )%MaxQueueSize;
判断队空：			Q.front = Q.rear;
判断队满：			( Q.rear + 1 ) % MaxQueueSize == Q.front;
计算队列长度：		( Q.rear - Q.front + MaxQueueSize ) % MaxQueueSize;

3、队列实现杨辉三角原理

3.1 图形演示

• 第i行元素与第i+1行元素的关系示意图：
  

原理是打印每行系数元素，每行之间用0间隔开来。

• 从第i行的数据出队并计算出第i+1行的数据入队的示意图：
  
  从第三行开始，除每行首末元素外，第i+1行每个元素都为第i行同列和前一列两个数之和,以此类推，第i行一个系数出队，计算第i+1行系数，并入队。

3.2 主要算法实现

EnQueue(Q , 0);				//各行间插入一个0
for(j = 1; j <= i+2; j++){
	DeQueue(Q , t);			//一个系数出队
	EnQueue(Q , s+t);		//计算下一行系数，并入队
	s = t;
	if(j != i+2)
		printf("%d" , s);	//第 i+2 个 0
}

4、代码实现

4.1 main.cpp

//使用队列输出杨辉三角
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAXQSIZE 1000000//队列可达到的最大长度
#define OVERFLOW -1
#define ERROR 0
#define OK 1
typedef int QElemType;
typedef int Status;
typedef struct {
	QElemType *base;//定义队列指针
	int front;		//头指针
	int rear;		//尾指针
} SqQueue;

//初始化
Status InitQueue(SqQueue &Q) {
	Q.base = new QElemType[MAXQSIZE];//为队列分配一个最大容量为MAXQSIZE的数组空间
	if(!Q.base) exit(OVERFLOW);  	//存储分配失败
	Q.front = Q.rear = 0;     		//头指针和尾指针置为零，队列为空
	return OK;
}

//入队
Status EnQueue(SqQueue &Q, QElemType e) {
	if ((Q.rear + 1) % MAXQSIZE == Q.front)//队列已经满了
		return ERROR;
	Q.base[Q.rear] = e;      			  //新元素插入队尾
	Q.rear = (Q.rear + 1) % MAXQSIZE;     //队尾指针加1
	return OK;
}

//出队
Status DeQueue(SqQueue &Q, QElemType &e) {//删除Q的对头元素，用e返回其值
	if (Q.front == Q.rear)
		return ERROR;                   //队空
	e = Q.base[Q.front];                //保留对头元素
	Q.front = (Q.front + 1) % MAXQSIZE;//对头指针加1

	return OK;
}

//取对头元素
Status GetHead(SqQueue &Q, QElemType &e) {
	if (Q.front == Q.rear)
		return ERROR;                    //队空
	e = Q.base[Q.front];                //保留对头元素
	return OK;

}

//判断队列是否为空
int IsEmpty(SqQueue &Q) {
	if (Q.rear == Q.front)//队空
		return OK;
	else
		return ERROR;
}

//创建杨辉三角，N表示三角形的行数
void YHTriangle(int n){
	int i,j,s=0,t=0;
	SqQueue Q;          		//定义队列Q
	InitQueue(Q);               //初始化队列
	EnQueue(Q,1);
	EnQueue(Q,1);               //第一行元素入队 1 1
	for(i = 1;i < n;i++){
		EnQueue(Q,0);           //各行间插入一个0
		for(j = 1;j <= i+2;j++){
			DeQueue(Q,t);       //一个系数出队
			EnQueue(Q,s+t);     //计算下一行系数，并入队
			s = t;
			if(j!=i+2){
				printf("%d ",s);//第i+2个0
			}
		}
		//输出形式，二选一
		printf("0 ");           //输出一维数组，每行用0间隔
		printf("\n");           //输出杨辉三角形
	}
}

//主函数
int main() {
	int N;
	printf("请输入杨辉三角行数 N : ");
	scanf("%d", &N);
	YHTriangle(N);			//调用杨辉三角函数
	return 0;
}

4.2 运行结果

4.2.1按杨辉三角形打印

YHTriangle() 函数中最后的一行 为printf("\n");

请输入杨辉三角行数 N : 10
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

4.2.2 按一维数组方式打印一行

YHTriangle() 函数中最后的一行 为printf("0 ");

请输入杨辉三角行数 N : 10
1 0 1 1 0 1 2 1 0 1 3 3 1 0 1 4 6 4 1 0 1 5 10 10 5 1 0 1 6 15 20 15 6 1 0 1 7 21 35 35 21 7 1 0 1 8 28 56 70 56 28 8 1 0 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 0

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注：部分图片源自教材和教学PPT；
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