指数加权平均

指数加权平均

1 加权平均

所谓加权平均就是在平均的基础上给参与平均的各项增加权重，如现有一组数据X[1…n]
$$\begin{gathered} 普通平均m=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \\ 加权平均m=\frac{w_1{x}_1+w_2{x}_2+...+w_n{x}_n}{n} \\ 其中w_{[1..n]}为权重，且\sum _{i=1}^n{w}_i=1 \end{gathered}$$
由此引出指数加权平均

2 指数加权平均

2.1 引出问题

假设有一组天气数据是这样分布的

我们需要描述温度的变化，即尽可能拟合这些散列点，这时就要用到指数加权平均

假设θt表示第t天的温度，引入新的变量v
$$\begin{gathered} V_0=0 \\ {V}_1=\beta V_0+(1-\beta ){\theta }_1 \\ {V}_2=\beta V_1+(1-\beta ){\theta }_2 \\ . \\ . \\ . \\ {V}_t=\beta V_{t-1}+(1-\beta ){\theta }_t \end{gathered}$$
于是乎，假若给β赋值，则会产生一组新的值V

β = 0.9时

β = 0.98时

β = 0.5时

那么β为什么会产生这种效果呢？β又有什么意义？

2.2 β参数

首先，β的值可以控制近期平均的天数，当β=0.9时
$$\begin{gathered} V_0=0 \\ {V}_1=0.9\ast V_0+0.1\ast {\theta }_1=0.1\ast {\theta }_1 \\ {V}_2=0.9\ast (0.9\ast V_0+0.1\ast {\theta }_1)+0.1\ast {\theta }_2 \\ =0.9\ast 0.1\ast {\theta }_1+0.1\ast {\theta }_2 \\ {V}_3=(0.9{)}^2\ast 0.1\ast {\theta }_1+0.9\ast 0.1\ast {\theta }_2+0.1\ast {\theta }_3. \\ . \\ . \\ {V}_t=(0.9{)}^{t-1}\ast 0.1\ast {\theta }_1+(0.9{)}^{t-2}\ast 0.1\ast {\theta }_2+...+0.1\ast {\theta }_t \end{gathered}$$
可以看到，随着t的增大，与θt距离越远的θ，对Vt的影响越小，如：θ0在经历若干次运算后，已经无限趋近于0，对θt的影响很小。

于是，我们可以从中看到参数β的含义，当β越大时，附近能对Vt产生影响的θ越多，换到题目中的意思就是能够平均的天数越多

反之，当β值越小，能对Vt产生影响的θ越少，即Vt代表的平均天数越少

有规定：
$$\begin{gathered} ϵ=1-\beta \\ 当(1-ϵ{)}^{\frac{1}{ϵ}}=\frac{1}{e}时，我们称其平均了\frac{1}{ϵ}天 \\ 如\beta =0.9,则(0.1{)}^{10}=\frac{1}{e},所以\beta =0.9时平均了近期10天的数据 \\ 所以\beta =0.98,平均了约50天的数据 \\ \beta =0.5,平均了2天的数据 \end{gathered}$$
由此，我们可以明白，为什么β越小，抖动越厉害，是因为平均的数据少

而β越大，越平缓，但是与真实数据的偏离越大，因为平均的数据多。

2.3 偏差修正

还有一个问题，就是V0=0,而V1 = 0.1 * θ1,V2 = 0.1 * θ1 + 0.1 * θ2

这样导致v1和v2的值与实际值偏差很大，要对其进行修正，我们可以利用 β值的特点
$$V_t=\frac{V_t}{1-{\beta }^t}=\frac{\beta V_{t-1}+(1-\beta ){\theta }_t}{1-{\beta }^t}$$
,这样，当t=1或2或很小的值时，会对整体数据进行放大，使得V1=θ1
$$\begin{gathered} 随着t的增大 \\ 1-{\beta }^t趋向于1 \\ 公式又近似于\beta V_{t-1}+(1-\beta ){\theta }_t \end{gathered}$$