贪心算法

贪心问题的基本特征

1. 可行解（可能有多个）
2. 约束条件（可行解必须满足的条件）
3. 目标函数（衡量可行解优劣）
4. 最优解（使目标函数取得极值的可行解）

贪心算法的基本思想

每一步都按照由目标函数选取的的最优办法来进行，即每一次操作的都应使得目标函数在当前情况下尽可能地大。这种算法只考虑眼前情况，不考虑后果。这一特点决定了贪心算法必须具有无后效性，即某个状态的选择不会影响到之前的状态，只与当前状态有关。

解决贪心问题的一般流程

1. 分析问题，得出约束条件和目标函数
2. 分解问题，把问题分解成多个子问题
3. 对子问题求最优解
4. 合成所有子问题的最优解，得到最终解

*贪心和DP其实很像，都是将问题分解成许多易于解决的子问题，再求子问题的最优解。
事实上，我们可以把贪心算法当成DP的一个特例。
首先把所有的子问题看成一棵树，树顶就是原问题。通常来讲，DP问题都是自底向上构造问题的解，把每一个节点遍历一遍（也就是对于一个子树的跟，把每个叶子节点都求出解，并选出最优解作为自己的值），而贪心问题则可以通过数学方法证明：任意一个子问题的最优解（子树根的值）与其叶子节点的值（最小子问题的解）无关，也就是说不需要遍历就可以求出节点的值。
既然不需要遍历树，那也就不用自底向上求解了，直接从根开始，每次选择最优的路一直向下走就可以解决问题。

例题

描述
Assume the coasting is an infinite straight line. Land is in one side of coasting, sea in the other. Each small island is a point locating in the sea side. And any radar installation, locating on the coasting, can only cover d distance, so an island in the sea can be covered by a radius installation, if the distance between them is at most d.

We use Cartesian coordinate system, defining the coasting is the x-axis. The sea side is above x-axis, and the land side below. Given the position of each island in the sea, and given the distance of the coverage of the radar installation, your task is to write a program to find the minimal number of radar installations to cover all the islands. Note that the position of an island is represented by its x-y coordinates.

Figure A Sample Input of Radar Installations
输入
The input consists of several test cases. The first line of each case contains two integers n (1<=n<=1000) and d, where n is the number of islands in the sea and d is the distance of coverage of the radar installation. This is followed by n lines each containing two integers representing the coordinate of the position of each island. Then a blank line follows to separate the cases.

The input is terminated by a line containing pair of zeros
输出
For each test case output one line consisting of the test case number followed by the minimal number of radar installations needed. “-1” installation means no solution for that case.
样例输入
3 2
1 2
-3 1
2 1

1 2
0 2

0 0
样例输出
Case 1: 2
Case 2: 1
题目大意：
x轴是海岸线，x轴上方是海洋。海洋中有n（1<=n<=1000)个岛屿，可以看作点。
给定每个岛屿的坐标（x,y)，x,y 都是整数。当一个雷达到岛屿的距离 不超过d，则认为该雷达覆盖了该岛屿。
雷达只能放在x轴上。问至少需要多少个雷达才可以覆盖全部岛屿。

思路：
对于每个岛屿，若要覆盖它，则雷达必须在x轴上[s,e]的范围内。换言之，如果雷达在[s,e]范围内，则一定可以覆盖相应的岛屿。
这是一个贪心问题，我们按照贪心问题的方法来分析一下

1. 约束条件：雷达在区间[s,e]内
2. 目标函数：设radar为雷达的坐标，F（radar）=包含有radar的集合数
3. 子问题就是对一个雷达求解F（radar）>0，最优解就是F（radar）取最大值时，radar的坐标

那么如何求子问题的最优解呢？
想到如果有一个雷达同时覆盖多个区间，那么把这多个区间按起点坐标从小到大排序，则如果把雷达装在最后一个区间k的起点，就能覆盖所有区间。
接下来用反证法证明一下（大多贪心算法的证明部分都使用反证法）
证明：
如果它不能覆盖某个区间x,那么它必然位于 1. x起点的左边 2. x终点的右边。
情况1) 和k 的起点是最靠右的矛盾
情况2) 如果发生情况2，则不可能找到一个点同时覆盖x和k（即x区间和k区间没有交集），也和前提矛盾

AC代码请参考博客 > > > https://blog.youkuaiyun.com/deepmindman/article/details/52278572 < < <