【2019正睿金华集训】0802总结(树上DP)

今日学习： DP && 树上数据结构

DP：

基本DP我便不再累述，安利一下我的博客
这里我就是想讲一下老师上课讲的一些稀奇古怪 毒瘤DP题。（这里先讲一下我已经理解了的）

例1：树上互质最长链；给出⼀棵n个节点的树，每个节点上有点权a_i。求最⻓的树上路径，满⾜条件：路径上经过节点（包括两个端点）点权的gcd和不等于1

每一个点权<=2*10⁵,考虑将每一个点都分解质因数。
对于每一个节点u,设dp[u,p]表示从u点向下挂出的点权都能被p整除的最长链长度。
枚举父亲和儿子的质因数，有相同的便可以进行转移，中途累计答案即可。

例2：给出一个n个节点的树，对于1~n中的每个数k，求出最多能选出多少条互不相交的路径（边，点都不交）且路径长度为k？

考虑如果k是固定该怎么求？
考虑贪心：每一次我们枚举最高点在u的链的放置方案，这样链的两端一定插在不同的儿子中。我们发现每一个儿子对父亲的贡献只有向下到达的最深点，因为任意两条链不能重叠。那么每一次找寻儿子中最深的两个，如果大于k那么就放置，否则更新当前u的最深处。

现在得出单个k的做法，如果令f[k]表示k时的答案，发现由于n的限制，答案最多是$\frac{n}{k}$,考虑这个整除，f[k]的取值最多有$sqrt(n)$取法，并且发现f[k]是单调不升的，那么只要确定一个权值相同的区间的左端点f[]的值，便可以二分出右端点的位置。然后再用以上贪心方法求出下一个区间左端点的f[]的值，以此类推…

时间复杂度为O$(nlognsqrt(n)）$

例3：Easy Problems；长为n的字符串，要求删除一些字符是的子序列中不包含"hard"，已知每个位置删除的代价ai,求出最小代价。

滚动数组：用f[1~4]，f[1]表示目前为止没有h的最小代价，f[2]表示目前为止没有ha的最小代价，f[3]表示目前为止没有har的最小代价，f[4]表示目前为止没有hard的最小代价；

for(int i=1;i<=n;i++)//当前的位置
    {
      if(a[i]=='h') f[1]+=b[i];//到目前为止使没有h的最小价值
      if(a[i]=='a') f[2]=min(f[1],f[2]+b[i]);//到目前为止使没有ha的最小价值,为了使ha不连接，要么使h全消失，要么使a全消失 
      if(a[i]=='r') f[3]=min(f[2],f[3]+b[i]);//同理到目前为止使没有har的最小价值，前面已经得出使ha不连接的最小值，再和使r全消失的代价进行比较 
      if(a[i]=='d') f[4]=min(f[3],f[4]+b[i]);//到目前为止使没有hard的最小价值，前面得出使har无法连接的最小值，与使d全消失的代价比较即可，这样得出使没有hard一定是代价最小的 
    }，最后输出f[4]就是到n位置使没有hard的最小代价了

例4:给出⼀个字符串S，这个字符串只由’A’, ’C’, ‘G’, ‘T’四个字⺟组成。
对于每个1~|S|中的每⼀个i，求出满⾜以下条件的字符串T的个数：
1.⻓度为m。
2.只由’A’, ‘C’, ‘G’, ‘T’四个字⺟组成。
3.LCS(S,T) = i.
答案对10^9+7 取模后输出。

数据范围
|S| <= 15, m <= 1000.

经典的DP套DP（毒瘤 ）
考虑传统的求LCS，设f[i][j]表示考虑A串的前i位，考虑B串的前j位的LCS长
有如下：
1.$a[i]!=b[j]$ $f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1])$
2.$a[i]=b[j]$ $f[i][j]=maxf[i-1][j],f[i][j-1],f[i-1][j-1]+1$
明显有$f[i][j-1]<=f[i][j]<=f[i][j-1]+1$
因此可以将差分序列压起来，在本题中，令序列a=T，序列b=S，那么对于⼀个确定的T的前缀，当前的LCS状态可以⽤⼀个15位的⼆进制数来表示。
转移时枚举T新添的字⺟是什么，并使⽤上⾯传统的LCS计算⽅法来求出新的状态即可，累计方案.

---

感觉DP真的是博大精深，还有DP套DP这样的操作，震惊。
DP的精髓在于状态的设置以及转移方程，再加上一些优化。

树上数据结构

常见的树上数据结构：

1.树链剖分 2.线段树 3.主席树

常用算法：倍增思想,点分治,树上路径交

对于以上，我目前只会敲一些经典的板子。

一.支持修改边权和询问路径边权最大值：可用树剖+线段树
二.路径上第 k 大点/边权:可用主席树的前缀和性质 （目前还不会利用树剖去做）
三.距离不超过 k 的路径条数以及距离等于k的路径是否存在：点分治

树上路径交：

两条树上的路径[a,b]和[c,d]有交，则有lca(a,b)在[c,d]上或lca(c,d)在[a,b]上。
其实只要深度大的lca在另一条链上就好了，所以设x=lca(a,b)深度较大。
充分性证明：x在[c,d]上，则[a,b]和[c,d]显然有交。
必要性证明：x不在[c,d]上，如果[a,b]上有点y与[c,d]有交，因为lca(c,d)深度较小，所以y的深度必定小于x，那么x就不是lca(a,b)了，矛盾，所以如果x不在[c,d]上，[a,b]与[c,d]无交。
判断x在[c,d]上只需要判断x是lca(c,d)的儿子且x是c或d的父亲。

树上问题的拓展千奇百怪，还会有许多的算法，数据结构联系在一起，需要问题的转化，目前还不太会（坑）