数模动态规划小案例之matlab程序实现——背包问题

1、问题描述

有编号分别为 a,b,c,d,e 的五种金银物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别为6,3,5,4,6，现有一个承重为10的背包，如何让背包带走金银物品的价值总和最大？

2、分析思路

符号说明

x(k)： 表示在第k阶段的状态，状态就是第k阶段时的背包的重量
u(k)： 表示在第k阶段的决策，决策取1表示将第k个物品放入背包，取0则相反。
v(x(k), u(k))： 表示在第k阶段的阶段指标，也就是决策的取到的第k个物品的价值
f(x(k))：表示总目标函数，即背包承重的范围内要能装走最大价值的金银财宝

过程分析

假设五种金银物品以a,b,c,d,e的顺序排放好，那我们可以以金银物品的顺序作为系统的阶段，即第一个物品（a）作为第一阶段、第二个物品（b）作为第二阶段、第三个物品（c）作为第三阶段段、… ，那么这个题就划分为了5个阶段了。那系统的状态x(k)为背包当前重量，则状态转移方程为 x(k+1) = x(k) + u(k)，阶段指标为 v(x(k), u(k)) = x(k)。

总目标函数f(x(k))为从第k段的状态x(k)出发到过程终结的背包所装下的金银总价值最大，即
f(x(k)) = max(v(x(k), u(k)) + f(x(k+1)))

如果觉得分析不清楚可以参考此文章https://blog.youkuaiyun.com/mu399/article/details/7722810

代码步骤

了解以上分析后，接下来就是代码的实现。代码是根据上面分析来编写的，系统有五个阶段，每个阶段的决策用0、1表示。

代码第一步：用a矩阵的第一行存放1，2，3，4，5系统的阶段，第二行存放金银重量，第三行存放金银价值。

代码第二步：生成所有种情况的系统状态（下面只取前六行）
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
比如上面输出的数据矩阵种第一行第一列为1表示第一阶段的决策取值为1（也就是在这五个顺序排列好的物品，取了第一个物品放入背包中），第一行第二列为1表示第二阶段的决策取值为1（将第二个物品放入背包），后面的数字同上。第二行中的数字也如此，只不过表示的是不同的情况。因此也可以明显看出第一行表示所有物品都放入背包中，但已超过了背包的承重了，因此后面的代码还需要有背包承重的约束条件。

代码第三步：给背包承重填上约束条件，即只计算满足背包承重条件的各种情况，将值存放到f中
f = (a(3,:) * v(i,:)’)

代码第四步：算出背包所装下的总价值的情况并输出，最终结果背包所能装下价值最大为15。（详细见代码）

3、matlab实现