【DS】 - 堆

堆

基本实现

增

上浮：插入一个数，只影响他的父节点/祖父结点/及上面的结点，而不影响兄弟姐妹结点。

当孩子节点比父母结点小时，交换。最坏情况交换到顶部。

删（根节点）

下沉：把最后一个的数调整到根节点，多次交换到底部保证整体结构不被破坏。

查

改

堆排序

建堆

• 1.创建堆结构体

• 2.上浮建堆O(N*logN)

• 3.下沉建堆O(N)

  • 时间复杂度的推导

    设总共需要换T(n)次，n为结点数。T(n)=2^0 * (h-1)+2^1 * (h-2)+...+2^h-2 * 1。其中下划线为每层需要移动的结点数，后一个因数为该层结点需要向下移动的层数。

    用错位相减推导，得到
    T(n)=2^h-1-h

     

    同时满足高度h=log2(n+1)，代入上式得
    T(n)=n+1-1-log2(n+1)≈n

     

    故下沉建堆时间复杂度为O(N)

调整，完成升序/降序

• 1.升序用大堆，降序用小堆

  升序：从最后一个结点往前遍历，大堆每次能取到最大值，最后一个结点跟最大值交换，让堆顶下沉不破坏堆结构，直到遍历结束。此时大堆其实变成了升序的小堆。相当于pop操作。

• 这样完成的堆会成[1,2,3,4,5,6,7]：每次操作让最大值从后往前放，在调整的过程中，最小值逐渐往前对应。

• 每一次下沉需要 logN，N个数下沉，即总时间复杂度为O(N*logN)

• 降序反之。

• 2.升序用小堆，降序用大堆

  升序：每次拿到堆顶，可以拿到最小值，往后遍历可以拿到次小值的前提是，后面的也得是最小堆，即第二次拿到的数必须为剩下数中的最小值。因此又得进行一次建堆，每个数字都进行建堆。时间复杂度是O（N^2），比较慢，因此不适合用这种方法。

  降序反之。