爆头(数学题)

题目链接：HDU - 1174

(TMD又是考数学题……，直接转载了爆头（叉乘求点到直线的距离）感谢大佬

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 2799 Accepted Submission(s): 1329

Problem Description

gameboy是一个CS高手，他最喜欢的就是扮演警察，手持M4爆土匪的头。也许这里有人没玩过CS，有必要介绍一下“爆头”这个术语：所谓爆头，就是子弹直接命中对方的头部，以秒杀敌人。
现在用一个三维的直角坐标系来描述游戏中的三维空间（水平面为xoy平面，z轴正方向是上方）。假设游戏中角色的头是一个标准的球。告诉你土匪的身高，头部半径，所站位置的坐标；gameboy所控警察的身高，头部半径，所站位置的坐标，以及枪头所指方向的单位向量。gameboy所控警察所握的是M4，抢瞄准时枪膛中的子弹跟视线基本同线，我们忽略它们的距离，就当成同线。由于土匪手持AK47,所以他是很嚣张地正立着。而警察手持M4，正在瞄准，由于瞄准时身体微弯，视线从头心出发，他头部的实际高度比正立时低10%。
你的任务就是，计算gameboy在这一刻扣下扳机，能否爆土匪的头。注意：这里忽略子弹的直径和重力作用，也就是说子弹是无限小的，弹道是一条笔直的射线，警察与土匪间没有障碍物。并且只要子弹擦到头部，哪怕是边缘，也算爆头。

Input

测试数据的第一行有一个正整数T，表示有T组测试数据。每组数据的第一行有五个实数，h1,r1,x1,y1,z1，分别表示土匪的身高，头部半径以及所站的位置。第二行有八个实数，h2,r2,x2,y2,z2,x3,y3,z3，分别表示警察的身高，头部半径，所站位置，以及枪头所指方向的方向向量。

Output

每一组输入数据对应一行输出。如果能爆土匪的头，输出"YES",否则输出"NO"。

Sample Input

2 1.62 0.1 10.0 10.0 10.0 1.80 0.09 0.0 0.0 0.0 1.0 1.0 1.0 1.62 0.1 0.0 0.0 0.0 1.80 0.09 10.0 10.0 10.0 -1.0 -1.0 -1.0

Sample Output

YES
YES

题意：在三维空间里给出强盗的位置，身高，头的半径；警察的位置，身高，头的半径；子弹的方向向量。问警察是否可以打中强盗的头部。

思路：

1. 设强盗头部中点为B，警察射出子弹位置为A（即警察头部中心位置），子弹方向向量为AC，判断B到AC的距离是否大于强盗头的半径即可判断是否能打中。

2. 对于向量a和向量b：
3.
a和b的叉乘公式为：

其中：

根据i、j、k间关系，有：

点到线的距离
找出一个点和一条线间的距离是经常遇见的几何问题之一。假设给出三个点，A，B和C，你想找出点B到点A、C定出的直线间距离。第一步是找出A到B的向量AB和A到C的向量AC，现在我们用该两向量的叉积除以|AC|，这就是我们要找的的距离了

d=(ABxAC)/|AC|,

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 1000000
int t;
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
       // 小偷位置B，警察A；子弹方向AC，B到AC的距离=(ABxAC)/|AC|
        double h1,r1,x1,y1,z1,t1,t2,t3;
        double h2,r2,x2,y2,z2,x3,y3,z3;
        cin>>h1>>r1>>x1>>y1>>z1>>h2>>r2>>x2>>y2>>z2>>x3>>y3>>z3;
        h2-=0.1*h2;
        double k2=z2+h2-r2;//警察位置
        double k1=z1+h1-r1;//小偷位置
        double a=x1-x2,b=y1-y2,c=k1-k2;//AB警察->小偷
        double a1=b*z3-y3*c,b1=x3*c-a*z3,c1=a*y3-x3*b;//AB叉乘AC
        double sun1=a1*a1+b1*b1+c1*c1;
        double sun2=x3*x3+y3*y3+z3*z3;
        if(sun1/sun2<=r1*r1&&a*x3+b*y3+c*z3>0) printf("YES\n");
        else printf("NO\n");
    }
}