树论相关

树的直径

定义：对于一颗无根树，找到两个点，使得他们之间的距离最远，这个距离就是树的直径。

求法：

1. 两次bfs或dfs(O(n))：第一次以任意节点 x 为根，求出距离最远点 y，这个点一定在树的直径上（证明：树的直径求法及证明），第二次以这个点为根跑出来的最远点 z，y 与 z 的距离，就是树的直径。
2. 树形 dp(O(n)) ：dp[ i ]表示经过 i 点的最长链长度。

性质：

1. 直径两端点一定是两个叶子节点
2. 距离任意点最远的点一定是直径的一个端点，这个基于第一种求直径方法的正确性可以得出
3. 对于两棵树，如果第一棵树直径两端点为(u, v) (u, v)，第二棵树直径两端点为(x, y) (x, y)，用一条边将两棵树连接，那么新树的直径一定是u, v, x, y, u, v, x, y, 中的两个点

题目：Tree
题解：Tree(树形dp)

学习博客：树的直径及其性质与证明

树的重心

定义：对于一颗n个节点的无根树，找到一个点，使得把树变成以该节点为根的有根树时，最大子树的节点数最小，也就是说删除这个点后最大联通块的节点数最小。

求法：
dp(O(n))：用dp[ i ]代表以i为根的子树的所有节点个数（包含i节点本身），如果要以 i 为重心的话，那么其最大子树的节点数就是max(max(dp[ j ]), n - dp[ i ])，其中 j 为 i 的孩子节点。

性质：

1. 树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么他们的距离和一样。
2. 把两个树通过一条边相连得到一个新的树，那么新的树的重心在连接原来两个树的重心的路径上。
3. 把一个树添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。
4. 以重心为根的树，则重心的所有子树的最大规模不会超过这棵树规模的一半。
5. 数的重心最多只有两个，且一定相邻

题目：Balancing Act
Godfather