基于背包问题的公钥加密算法

简述：

1. 公钥密码

公钥密码又称非对称密码，所谓非对称密码即加解密使用的不是同一个密钥。

在公钥密码体系中，使用每个人拥有两种密钥，公钥和私钥，公钥是公开的，用来加密，私钥是私自保存的，用于解密。如：

只有用自己的私钥才能解开自己公钥加密的信息，而且通过公钥钥是不能推出私钥的。

公钥密码将辅助信息（陷门信息）作为私钥，这类密码的安全强度取决于它所依据的问题的计算复杂度。

常见的公钥密码有RSA公钥密码、ElGamal公钥密码、椭圆曲线密码。

2. 背包问题

背包问题：假设有一堆物品，体积各不相同，问能否从这堆物品中找出几个正好装满一个给定容量的背包？（假定物品之间不留空隙）

记物品的体积分别为v1，V2，…，n，背包的容量为C，则背包问题可表示为：b1v1＋b2v2＋…＋bnvn＝C，其中，bi（i＝1，2，…，n）等于1或者0。

bi = 1表示第i个物品在背包中，bi＝0表示第i个物品不在背包中，称物品体积的序列（v1，V2，…，vn）为背包向量。

目前没有一个高效的算法来解决这个问题，只是进行穷举式搜索，但当数据足够多时，达到2的1024或2048位时，穷举式搜索将不再现实，问题就很复杂了。

3. 超递增背包

并非所有的背包问题都没有有效算法，有一类特殊的背包问题是容易求解的，这就是超递增背包问题。

设V＝（v1，2，…，vn）是一个背包向量，若V满足V中每一项都大于它前面所有项之和，则称V是一个超递增向量，或者称序列v1，V2，，n是一个超递增序列，以V为背包向量的背包问题被称做超递增背包问题。

比如，序列1，2，4，16，…… ，2^n就是一个超递增序列。

超递增背包问题的解可以通过以下方法找到：

假设背包容量为C，从右到左依次检查超递增背包向量中的每一个元素Vi，如果C >= Vi，则C = C - Vi，并将对应的bi置为1，否则跳过，继续检查下一元素，直至遍历完所有元素。如果此时C等于0，则该超递增背包问题有解，解为bi中的1对应的超递增背包向量中的元素，否则表示该问题无解。

例如：

加解密：

背包算法具体如下：私有密钥设置为将一个超递增向量 V 转换为非超递增向量 U 的
参数t 、t的逆元和 k，公开密钥设置为非超递增向量 U，具体的加解密过程如下:

1. 加密

首先将二进制明文消息划分成长度与非超递增向量U长度相等的明文分组b1 b2 …… bn；

然后计算明文分组向量 B =（b1，b2，……，bn）与非超递增向量 U＝ （u1，u2，……，un）的内积 B * U = b1u1 + b2u2＋ ……＋bnun，所得结果为密文。

2. 解密

先还原出超递增背包向量V = t的逆元 * U mod k＝t * t的逆元 * V mod k；

再将密文 B * U 模 k 乘以 t逆元 的结果作为超递增背包问题的背包容量，求解超递增背包问题，得到消息明文。

代码实现：

import random
from my_modules import modules

# 初始化
def init(length, interval):
    listV = []  # 超递增向量
    listV_b = []  # 每个元素对应的乘数
    bagCapacity = 1000  # 背包容积
    # 初始化超递增向量与listV_b
    for i in range(length):
        listV.append(sum(listV) + random.randrange(1, interval))
        listV_b.append(0)
    # 求超递增背包的解
    bagCapacityTmp = bagCapacity
    for i in range(len(listV)-1, -1, -1):
        if bagCapacityTmp >= listV[i]:
            bagCapacityTmp -= listV[i]
            listV_b[i] = 1
    return listV

# 产生私钥：k、t、t的逆元
def creatPKey(listV):
    # listV = init()
    while True:
        k = int(input("输入私钥k(大于%d)：" % (sum(listV))))
        if k <= sum(listV):
            continue
        while True:
            t = int(inpu