斐波那契数列

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(3)=2,F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=4，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。
斐波那契数列指的是这样一个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368…

自然中的斐波那契数列

这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的定义者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1250年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《算盘全书》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
递推公式斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：:F(n)=F(n-1)+F(n-2)显然这是一个线性递推数列。斐波那契数列通项公式 (如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)注：此时 斐波那契数列通项公式推导方法一：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为：
　　x²=x+1
　　解得　 ， .
　　则
　　∵
　　∴ 　
　　解得
　　 方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）设常数r，s .使得 则r+s=1，－rs=1n≥3时，有 …… 联立以上n-2个式子，得： ∵ ， 上式可化简得： 那么 …… （这是一个以 为首项、以 为末项、 为公比的等比数列的各项的和）。 ， 的解为 则 方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）设 得 构造方程 解得 ，所以 由(1)(2)式得 化简可得 方法四：母函数法。对于斐波那契数列{an}，有a1=a2=1,an=an-1+an-2(n>2时)令S(x)=a1x+a2x2+…+anxn+…那么有S(x)*(1-x-x2)=a1x+(a2-a1)x2+…+(an-an-1-an-2)xn+…=x因此S(x)= .不难证明1-x-x2=-(x+ )(x+ )=(1- *x)(1- *x).因此S(x)= *[x/(1- *x)-x/(1- *x)].再利用展开式1/(1-x)=1+x+x2+x3+…+xn+…于是就可以得S(x)=b1x+b2x2+…+bnxn+…其中bn= *[( )n - ( )n].因此可以得到an=bn= *[( )- ( )]