完美匹配

本文围绕图的完美匹配展开,介绍了完美匹配的概念,指出满图存在完美匹配,奇数个顶点不能构成完美匹配。还阐述了二分图、匹配、最大匹配等相关概念,如二分图是顶点可分两组且边跨越组边界的图,最大匹配是含匹配边数最多的匹配。

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2017 大学生程序设计竞赛女子组
关于完美匹配的概念问题

自己理解:
1.只要存在完美匹配的图就是完美匹配。可以不用管多余的边
1.首先 满图一定是存在完美匹配。
2.奇数个顶点不能构成完美匹配。因为要满足 组成 完美匹配的那些边 不能有相同的顶点。所以 每条边都连着两个不同的顶点。

二分图:简单来说,如果图中点可以被分为两组,并且使得所有边都跨越组的边界,则这就是一个二分图。准确地说:把一个图的顶点划分为两个不相交集 和 ,使得每一条边都分别连接 、 中的顶点。如果存在这样的划分,则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是:不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰,我们以后都把它画成图 2 的形式。

匹配:在图论中,一个「匹配」(matching)是一个边的集合,其中任意两条边都没有公共顶点。例如,图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配

在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边,它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点,其他顶点为未匹配点;1-5、4-7为匹配边,其他边为非匹配边。

最大匹配:一个图所有匹配中,所含匹配边数最多的匹配,称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配,它包含 4 条匹配边。

完美匹配:如果一个图的某个匹配中,所有的顶点都是匹配点,那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然,完美匹配一定是最大匹配(完美匹配的任何一个点都已经匹配,添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突)。但并非每个图都存在完美匹配。

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