WEEK 10 B LIS & LCS_week10 blis-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_43814559/article/details/106629482

本文介绍了一种使用动态规划解决序列A的最长递增子序列(LIS)和序列A与B的最长公共子序列(LCS)的方法。通过详细解释状态转移方程和给出具体代码实现，帮助读者理解并掌握这一算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

东东有两个序列A和B。

他想要知道序列A的LIS和序列AB的LCS的长度。

注意，LIS为严格递增的，即a1<a2<…<ak(ai<=1,000,000,000)。

Input

第一行两个数n，m（1<=n<=5,000,1<=m<=5,000）
第二行n个数，表示序列A
第三行m个数，表示序列B

Output

输出一行数据ans1和ans2，分别代表序列A的LIS和序列AB的LCS的长度

Simple Input

5 5
1 3 2 5 4
2 4 3 1 5

Simple Output

3 2

思路

LIS

这里选择动态规划的思想，约定一个状态fi为以序列第i个数Ai结尾的最长上升序列长度。
易知，f1=1。对于任意fi，fi的值为max{fj}+1，其中j<i且Aj<Ai，若fj不存在，则fi=1，这样依次计算fi，直到以序列尾为结尾的序列即fn计算完，这时答案即为max{fi},其中0<i<=n（n为序列长度）。

LCS

这里依然采用动态规划的思想，约定状态fij为序列A1,A2……Ai和B1，B2……Bj的LCS长度，易知，f0*=f*0=f10=0,对于其他状态，若Ai==Bj则fij=f(i-1)(j-1)+1,否则fij=max(f(i-1)j,fi(j-1))。
所有状态fij（0<i<=n,0<j<=m）计算完成后，fnm即为所求。

代码

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <string>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 5005;
int a[N], b[N], f1[N], f2[N][N];
int n, m, ans;

void LIS()
{
	f1[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		f1[i] = 1;
		for (int j = i - 1; j > 0; j--)
		{
			if (a[j] < a[i])
				f1[i] = f1[i] > f1[j] + 1 ? f1[i] : (f1[j] + 1);
		}
	}
}

void LCS()
{
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= m; j++)
		{
			if (a[i] == b[j])
				f2[i][j] = f2[i - 1][j - 1] + 1;
			else
				f2[i][j] = max(f2[i - 1][j], f2[i][j - 1]);
		}
	}
}

int main() 
{
	ans = 1;
	memset(f2, 0, sizeof(f2));
	scanf_s("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf_s("%d", &a[i]);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		scanf_s("%d", &b[i]);
	LIS(), LCS();
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		ans = max(f1[i],ans);
	printf("%d %d\n", ans, f2[n][m]);
	return 0;
}