分块思想与树状数组

分块思想

hash数组table[10001] 其中table[x]表示整数x的个数。
统计数组block[]表示第i块中存在的个数
求解第K大的元素是什么：首先，从小到大累加block[i] 直到sum>=k。其次从小到大累加table[i]直到sum>=k。

树状数组
lowbit(i):求解i的最低位的1和它右边的所有0。

树状数组的应用大致分为两个

1. 单点更新 区间查询
2. 区间更新 单点查询
   两种不同的应用应该让树状数组例的C[i]值的含义不同。
   C[i] 值得覆盖区间位lowbit(i) 即包括a[i] 在内往前数 lowbit(i)个元素。
   树状数组的核心函数为getSum与update

单点更新 区间查询
c[i]含义：覆盖区域数值之和

//getSum 返回前x个整数之和,复杂度O(logN) 
int getSum (int x)
{
	int sum = 0;
	for(int i = x;i > 0;i -= lowbit(i))
	{
		sum+=c[i];
	}
	return sum;
 } 

sum(x,y) = getSum(y) - getSum(x -1)

//update 将第x个数加上v
 void update(int x,,int v)
 {
 	for(int i = x; i <= N; i+= lowbit(i)){
 		c[i] += v;
	 }
  } 

//  给定一个有N个整数的序列，对序列中的每个数，求出序列中它左边比它小的数 
//存放i的个数
hash[A[i]] ++;
res = hash[1] + hash[2]+ ...hash[A[i] - 1]

#include<cstdio>
#include<cstring> 
const int maxn = 100010
//非离散化
#define lowbit(i) ((i)&(-i))
int c[maxn];//树状数组

void update(int x,int v)
{
	for(int i = x; i < maxn; i+= lowbit(i))
	{
	 		c[i] += v;
	 }
}
int getSum (int x)
{
	int sum = 0;
	for(int i = x;i > 0;i -= lowbit(i))
	{
		sum+=c[i];
	}
	return sum;
 } 
 
 int main()
 {
 	int n,x;
 	scanf("%d",&x);
 	meset(c,0,sizeof(c));
 	for(int i = 0; i < n;i ++)
 	{
 		scanf("%d",&x);
		update(x,1);
		printf("%d\n",getSum(x-1));	
	}
 	return 0;
 }
 

 离散化：缩区间
 //离散化
 #include<cstdio>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 const int maxn 100010;
 #define lowbit(i) ((i)&(-i)) 
 struct Node{
 	int val;
 	int pos;
 }temp[maxn];//temp数组临时存放 输入数据 
 int A[maxn];//离散化后的原始数组 
 int c[maxn];
  
void update(int x,int v)
{
	for(int i = x; i < maxn; i+= lowbit(i))
	{
	 		c[i] += v;
	 }
}
int getSum (int x)
{
	int sum = 0;
	for(int i = x;i > 0;i -= lowbit(i))
	{
		sum+=c[i];
	}
	return sum;
 } 
}

 //按val从小到大排序
 bool cmp(Nade a,Node b)
 {
 	return a.val < b.val;
  } 
 
 int main()
 {
 	int n;
 	scanf("%d",&n);
 	meset(c,0,sizeof(c));
 	for(int i = 0; i < n;i ++)
 	{
 		//与上一个元素赋值不同，赋值为元素个数
		 if(i==0 || temp[i].val != temp[i -1].val) 
		 {
		 	A[temp[i].pos] = i + 1;
		 }
		 else
		 {
		 	A[temp[i].pos] = A[temp[i-1].pos]; 
		 }
	 }
	 //正式进入更新求和操作
	 for(int i = 0; i < n; i ++)
	 {
	 	update(A[i],1);
	 	printf("%d\n",getSum(A[i] -1));//查询当前小于A[i]的数的个数 
	  } 
	  return 0; 
 }
 

树状数组适合离线查询

求解第K大的数组元素

每个数组存放本数的个数，和分块思想的意义一样

//寻找第一个满足条件的getSum(i)>=K 
int findKthElement(int K)
{
	int l = 1,r = MAXN,mid;//初始区间[1,MAX]
	while(l < r)
	{
		mid = (l + r)/2;
		if(getSum(mid)>=K) r = mid;
		else l = mid + 1; 
	 } 
	 return l;
 } 
 

 //二维树状数组
 
 int c[maxn][maxn];
 void update(int x ,inty,int v)
 {
 	for(int i = x; i < maxn ; j += lowbit(i))
 	{
 		for(int j = y; j <maxn; j += lowbit(j))
 		{
 			c[i][j] += v;
		 }
	 }
  } 
  //二维getSum函数返回1，1 到 x,y 的子矩阵元素之和
  int getSum(int x,int y)
  {
  	int xum = 0;
  	for(int i = x; i > 0 ; j -= lowbit(i))
 	{
 		for(int j = y; j > 0;j -= lowbit(j))
 		{
 			c[i][j] += v;
		 }
	 }
	 return sum;
   } 

区间更新 单点查询
C[i]含义：覆盖区间被加了多少

int getSum(int x)
{
	int sum = 0;
	for(int i = x ; i < maxn; i +=lowbit(i))
	{
		sum+= c[i];
	}
	return sum;

void update(int x,int v)
{
	for(int i = x; i > 0;i -= lowbit(i))
	{
		c[i] += v;
	}
}