最小生成树（prime算法、kruskal算法） 最短路径算法（Floyd,bellmen-ford,dijkstra,Spfa)

1 最小生成树

生成树的概念：联通图G的一个子图如果是一棵包含G的所有顶点的树，则该子图称为G的生成树 生成树是联通图的极小连通子图。所谓极小是指：若在树中任意增加一条边，则 将出现一个回路；若去掉一条边，将会使之编程非连通图。生成树各边的权值总和称为生成素的权。权最小的生成树称为最小生成树，常用的算法有prime算法和kruskal算法。
举例：几个村庄都不相通, 要修路, 怎么修, 这个花的钱最少, 这种最优选择就是最小生成树

1.1例题

为了便于理解，所以有了这个例题

题目链接

畅通工程

Problem Description

省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可）。经过调查评估，得到的统计表中列出了有可能建设公路的若干条道路的成本。现请你编写程序，计算出全省畅通需要的最低成本。

Input

测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出评估的道路条数 N、村庄数目M ( < 100 )；随后的 N
行对应村庄间道路的成本，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间道路的成本（也是正整数）。为简单起见，村庄从1到M编号。当N为0时，全部输入结束，相应的结果不要输出。

Output

对每个测试用例，在1行里输出全省畅通需要的最低成本。若统计数据不足以保证畅通，则输出“?”。

Sample Input

3 3
1 2 1
1 3 2
2 3 4
1 3
2 3 2
0 100

Sample Output

3
?

1.2 Prime算法

Prime算法的基本思想

1. 清空生成树，任取一个顶点加入生成树。
2. 在那些一个端点在生成树里，另一个端点不在生成树里的边中，选取一条权最小的边，将它和另一个端点加进生成树。
3. 重复步骤2，直到所有的顶点都进入了生成树为止，此时的生成树就是最小生成树。

结合上面的例题来介绍具体算法实现
AC代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define PI 3.1415926535
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f; 
const long long LLINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int MAXn = 100;
const int mod = 1;

int map[MAXn][MAXn];  //存图 map[i][j]==p 表示从i到j的距离为p
bool Is_Used[MAXn];  //Is-Used[i]=true 表示点i已经在最小生成树中
int Low_Cost[MAXn];  //Low_Cost[i] 表示最小生成树中的所有点到i点的距离的最小值
int main()
{
   
    int n, m; 
    while (cin >> n >> m)
    {
   
        if (n == 0)
            break;
        mem(map,INF);
        int i, a, b, c, ans = 0, ok = 1;
        for (i = 1; i <= n; i++)
        {
   
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            map[a][b]=map[b][a] =c;
        }
        mem(Is_Used, 0); //将Is_Used数组清零
        Is_Used[1] = true; // 将V1（第一个点）存入树中作为起点
        for (i = 1; i <= m; i++)//因为最小生成树中只有V1 所以Low_Cost[i]=map[1][i]
            Low_Cost[i] = map[1][i];
        for (i = 2; i <= m; i++)
        {
   //遍历其他的点（不在最小生成树中的点
            int Min = INF, New_Point = -1;
            for (int j = 1; j <= m; j++)
            {
   //找不在最小生成树中的点到最小生成树中的点的最小距离，存为新的点
                if (!Is_Used[j] && Min > Low_Cost[j])
                {
   
                    Min = Low_Cost[j];
                    New_Point = j;
                }
            }
            Is_Used[New_Point] = true;//将新的点入树
            ans += Min;
            for (int j = 1; j <= m; j++)
            {
   //更新不在最小生成树中的点到最小生成树中的点的最小距离
                if (!Is_Used[j])
                    Low_Cost[j] = min(Low_Cost[j], map[New_Point][j]);
            }
        }
        for (i = 1; i <= m; i++)
        {
   //判断是否所有点都已入树
            if (!Is_Used[i])
            {
   
                ok = 0;
                break;
            }
        }
        if (ok)
            printf("%d\n",ans);
        else
            printf("?\n");
    }
    return 0;
}

1.3 Kruskal算法

Kruskal算法 ：构造一个只含n个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树的根节点，则它是一个含有n棵树的森林 。之后，从网的边集中选取一条权值最小的边，若该边的两个顶点分属不同的树 ，则将其加入子图，也就是这两个顶点分别所在的 两棵树合成一棵树；反之，若该边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林只有一棵树。kruskal算法能够在并查集的基础很快的实现。并查集参考： 并查集

结合上面的例题来介绍具体算法实现
AC代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define PI 3.1415926535
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const long