点乘和叉乘及其物理意义（C++STL实现）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_43679627/article/details/87726715

一些错误观念的澄清，比如数学意义上的点积和叉积并不对应matlab程序中的.*(按位相乘)和*（矩阵乘法）
内积的物理意义
- 一种向量到标量的映射
- 两向量的夹角的计算
- 两向量是否正交的判断
- 两向量的相似性（similarity）的度量
叉积的意义
如何使用C++语言（STL容器，运算符重载）：
- 表示向量
- 计算内积
- 计算叉积
- 计算模长
- 计算两向量的夹角
- 计算点到直线的距离

prerequisites

内积（inner product）

又叫点乘，点积（dot product），数量积，顾名思义得到的是一个标量（scalar）。

代数定义

向量x=[x 1 ,x 2 ,…,x n ]

C++ STL实现

向量的定义：

typedef vector<double> Vec;
  
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矩阵减法

Vec operator-(const Vec& x, const Vec& y){    assert(x.size() == y.size());                        // #include <cassert>    Vec tmp;    for(size_t i = 0; i < x.size(); ++i)        tmp.push_back(x[i] - y[i]);    return tmp;         // 返回局部变量的拷贝}
  
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内积和叉积的定义

为了形式的简单，我们在C++中以*表示内积，以^表示叉积，分别对二者进行运算符重载：

double operator*(const Vec& x, const Vec& y){    assert(x.size() == y.size());       // #include <cassert>    double sum = 0.;    for (size_t i = 0; i < x.size(); ++i)        sum += x[i]*y[i];    return sum;}// 三维的情况Vec operator^(const Vec& x, const Vec& y){    assert(x.size() == y.size() && x.size() == 3);    return Vec{x[1]*y[2]-x[2]*y[1],                 x[2]*y[0]-x[0]*y[2],                x[0]*y[1]-x[1]*y[0]};            // uniform initialization, C++11新特性}// 二维就姑且返回其模长吧double twoDCrossProd(const Vec& x, const Vec& y){    return x[0]*y[1]-x[1]*y[0];}
  
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模长或者范数的计算

double norm(const Vec& x){    double val = 0.;    for(auto elem: x)        val += elem*elem;    return sqrt(val);                       // #include <cmath>}
  
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向量夹角的计算

#define PI 3.14159265358979323846// 弧长向弧度的转换double toDegree(double val){    return val*180/PI;}double angle(const Vec& x, const Vec& y){    return toDegree(acos(x*y/norm(x)/norm(y)));            // x*y, 计算二者的内积}
  
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点到直线的距离

// x0, x1, x2 分别表示三角形的三个顶点的坐标// 这里计算的是点x0到x1和x2构成的直线的距离double distance(const Vec& x0, const Vec& x1, const Vec& x2){    return twoDCrossProd(x1-x0, x2-x0)/norm(x1-x2);}
  
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客户端程序：

int main(int, char**){    Vec x{1, 0, 0}, y{0, 1, 0};    Vec z = x^y;        // 计算叉乘    copy(z.begin(), z.end(), ostream_iterator<double>(cout, " "));    cout << endl;        // 0 0 1    Vec alpha{1, 0}, beta{1, 1};    cout << angle(alpha, beta) << endl;            // 45    Vec x0{0, 0}, x1{1, 0}, x2{0, 1};       cout << distance(x0, x1, x2) << endl;            // 1/sqrt(2)    return 0;}
  
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