正交矩阵

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正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。

定义

　　定义 1

　　如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A′A=E，则n阶实矩阵 A称为正交矩阵， 若A为正交阵，则满足以下条件:

　　1) A 是正交矩阵

　　2) AA′=E（E为单位矩阵）（#add它的转置矩阵是它的逆矩阵，这是很重要的）

　　3) A′是正交矩阵

　　4) A的各行是单位向量且两两正交

　　5) A的各列是单位向量且两两正交

　　6) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R

　　 正交矩阵通常用字母Q表示。

　　举例：A=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]

　　则有：

r11^2+r12^2+r13^2=r21^2+r22^2+r23^2=r31^2+r32^2+r33^2=1

r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性质

　　正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

　　在 矩阵论中， 实数 正交矩阵是 方块矩阵 Q，它的 转置矩阵是它的 逆矩阵:

　　，如果正交矩阵的 行列式为 +1，则我们称之为 特殊正交矩阵:

概述

　　要看出与内积的联系，考虑在 n 维实数 内积空间中的关于正交基写出的向量 v。 v 的长度的平方是 vv。如果矩阵形式为 Q v 的线性变换保持了向量长度，则