1.1.4 逆元

1.1.4 逆元

主要内容：扩欧求逆元，快速幂求逆元，线性（递归）求逆元，同余模公式（补充），反复平方法求幂（补充）

一、 逆元

首先给出逆元的定义：

$$
\begin{aligned} 假设a\cdot p &\equiv 1 \quad(mod \quad b)\\ 且(a,b)&=1\quad即\quad a,b互素\\ 则称p为a的逆元&，记作p=a^{-1} \end{aligned}
$$

用与前文类似的方法，我们将同余方程转化为二元一次不定方程：

$$
pa+qb=1
$$

则求解逆元的过程，就是对此不定方程求解的过程

二、扩欧求逆元

很明显，上面的方程是一个二元一次不定方程，我们可以使用扩欧求解

具体代码参考1.1.3 最大公约数-优快云博客即可

三、快速幂求逆元

快速幂求逆元运用费马小定理，这要求p为素数

限于时间不足，作者将在之后的时间整理此部分内容

四、 线性（递归）求逆元

下面给出推导：

$$
\begin{aligned} 假设p&=ki+r\\ 现在尝试求i在模p下的逆元i^{-1}，即有i\cdot i^{-1} &\equiv 1\quad (mod\quad p)\\ 将上述等式放在模p意义下，得到同余式：\\ k\cdot i+ r&\equiv0\quad(mod\quad p)\\ 两边同乘i^{-1}，得到\\ k+r\cdot i^{-1}&\equiv 0\quad(mod\quad p)\\ 再同乘r^{-1}，得到\\ k\cdot r^{-1}+i^{-1}&\equiv 0\quad(mod\quad p)\\ 即\\ i^{-1}&\equiv-k\cdot r^{-1} \quad(mod\quad p)\quad\quad\quad(*)\\ 根据定义可知，k=[\frac{p}{i}]&，r=p\%i\\ 于是，我们将一个求解i^{-1}的问题&转化为求解(p\%i)^{-1}的问题 \end{aligned}
$$

我们的算法基于(*)式得到

$$
按照（*）式，我们可以得到一个逆元的线性求法，时间复杂度为O(n)，\\ 迭代方程如下：\\ inv[i] = (p - p / i) \cdot inv[p \% i] \% p;\\ 但实际上，我们可以使用递归的方法，在O(log_2n)的时间里更高效地求出逆元\\ 递归方程如下：\\ i^{-1}=\left\{ \begin{matrix} \begin{aligned} 1 \quad &i=1\\ -[\frac{p}{i}]\cdot(p\%i)^{-1} \quad &其他情况\\ \end{aligned} \end{matrix} \right.\quad\quad(mod\quad p)\\
$$

递归法代码实现如下：

int inv(int i, int p){
    if (i==1) return 1;
    return -(p/i)*inv(p%i);
}

四、 同余模公式、反复平方法求幂（补充）

同余模公式：

$$
\begin{aligned} (a+b)\%p \quad &= \quad (a\%p + b\%p) \%p\\ (a\cdot b)\%p \quad &= \quad (a\%p \cdot b\%p) \%p \end{aligned}
$$

反复平方法求幂：

这是快速幂取模的主要算法思想，想了解该算法的同学可以参照0x01 位运算（1）-优快云博客

（如果没记错的话，笔者年幼时曾阅读《幻想数学大战》，在书中接触过类似的思想，该思想源于文中所谓的《阿梅斯草纸书》。

笔者尝试继续追溯，其可能对应史料《阿默斯纸草书》，也即《莱因德纸草书》）

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