激光炸弹（图解 二维前缀和遍历）

一、题目

地图上有 N 个目标，用整数Xi,Yi表示目标在地图上的位置，每个目标都有一个价值Wi。

• 注意：不同目标可能在同一位置。

现在有一种新型的激光炸弹，可以摧毁一个包含 R×R个位置的正方形内的所有的目标。

激光炸弹的投放是通过卫星定位的，但其有一个缺点，就是其爆炸范围，即那个正方形的边必须和x，y轴平行。

求一颗炸弹最多能炸掉地图上总价值为多少的目标。

• 输入格式

第一行输入正整数 N和 R,分别代表地图上的目标数目和正方形的边长，数据用空格隔开。

接下来N行，每行输入一组数据，每组数据包括三个整数Xi,Yi,Wi,分别代表目标的x坐标，y坐标和价值，数据用空格隔开。

• 输出格式

输出一个正整数，代表一颗炸弹最多能炸掉地图上目标的总价值数目。

• 数据范围

0≤R≤10^9
0<N≤10000,
0≤Xi,Yi≤5000
0≤Wi≤1000

• 输入样例

2 1
0 0 1
1 1 1

• 输出样例

1

二、前缀和讲解

1. 一维前缀和：

• 假设我们有一个数组a，里面有a[1]、a[2]…a[n]，此时我们令s[i]=a[1]+a[2]+…+a[i]，此时的s数组内的元素就是数组a的前缀和。
  
• 我们想要a[3]+a[4]+…+a[10]的值的话,我们只需要用s[10]-s[2]即可，这就是前缀和的一个思想。

2. 二维前缀和：

• 由一维前缀和我们可以推出二维前缀和的原理：假设我们有一个二维数组a，里面有a[0][1]、a[0][2]…a[0][n]和a[1][0]、a[2][0]…a[n][0]，此时我们可以得出s[i][j]=s[i][j]+（s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]），此时的s数组内的元素就是数组a的前缀和。
  
• 由图我们可以看出s[i][j-1]的前缀和为绿色矩形中的值和加上白色矩形的值和，s[i-1][j]的前缀和为蓝色矩形的值和加上白色矩形的值和，所以在计算s[i][j]的过程中，s[i-1][j-1]被多计算了一次，所以最后的s[i][j]要特别注意减掉相应的一次s[i-1][j-1]。
• 回到题目中，此题要求的就是让我们计算相应的s[i][j]-s[i-r][j]-s[i][j-r]+s[i-r][j-r] 的最大值，这里的也是要注意加上一个被多减去一次的s[i-r][j-r]，我们在遍历的时候还要注意有可能整个地图的面积还没有正方形的面积大，这时候我们可以直接输出s[i][j]即可。

3.此题代码：

#include<iostream>
#include<algorithm> 
using namespace std;
int a[5050][5050];
int ta,tb;
int n,r;
int x,y,w;
int ans=-1;
int sum[5050][5050];
int main()
{
	cin>>n>>r;
	ta=r;
	tb=r;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		cin>>x>>y>>w;
		x++;
		y++;
		sum[x][y]+=w;
		ta=max(ta,x);
		tb=max(tb,y);
	}
	for(int i=1;i<=ta;i++)
	{
		for(int j=1;j<=tb;j++)
		{
			sum[i][j]+=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];
		}
	}
	for(int i=r;i<=ta;i++)
	{
		for(int j=r;j<tb;j++)
		{
			ans=max(ans,sum[i][j]-sum[i-r][j]-sum[i][j-r]+sum[i-r][j-r]);
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
}