组合数问题

一、求n!中质因子p的个数

一般而言，可通过枚举1~n当中所有的数，分别计算每个数当中所含有质因子的个数，然后将结果进行累加。可得到一个O(nlogn)的算法。
为了提高效率，我们可以观察1* 2* 3* 4* 5* 6……*n * n-1 * n,如果要求某一质因子，比如2的个数，只需依次计算含2的因子，2 ^ 2的因子，2 ^ 3的因子……然后分别将他们的个数相加即可。观察可发现，它们各自的个数恰好为n/2，n/2 ^ 2, n/2 ^ 3 ……因此便有了如下算法。

1、递归写法

//递归写法
int cal(int n, int p) { //求n!中质因子p的个数
    int ans = 0;//保存结果
    while (n) {
        ans += n / p;//累加
        n /= p;//再除以p
    }
    return ans;
}

2、非递归写法

int cal2(int n, int p) {
    if (n < p) return 0;
    return n / p + cal2(n / p, p);//n！中含p的个数+(n/p)！中含p的个数
}

二、计算组合数C(n,m)

如果直接按定义计算，当n和m很大时，将很难计算，因此可采用如下做法：

1、利用递推公式

由C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，右边再分别递归计算。

long long C1(int n, int m) {//方法一
    if (n == m || m == 0)//递归边界，C(n,n)和C(n,o)值均为1
        return 1;
    return C1(n - 1, m) + C1(n - 1, m - 1);
}

可进一步优化，因为递归将导致重复计算，因此可在递归时保存每一步的运算结果。需要时直接查表。

int res[60][60] = {{0}};// res[n][m] 存放当前C(n,m)的值
long long C1_1(int n, int m) { 
    if (m == n || m == 0) return 1;
    if (res[n][m] != 0) return res[n][m];//不为0，说明之前已经计算过，直接返回
    res[n][m] = C1_1(n - 1, m) + C1_1(n - 1, m - 1);//计算并保存
    return res[n][m];
}

2、恒等变形计算

由C(n,m)=n!/(m! * (n-m)! )，进一步将其展开观察，可得C(n,m)=∏ C(n-m+i,i)，∏为连乘符号，i取值从1~m。

long long C2(int n, int m) { //方法二:C(n,m)=n!/m!/(n-m)!
    long long res = 1;//累积
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        res = res * (n - m + i) / i;
    }
    return res;
}

三、计算C(n,m)%p

直接根据递推公式计算，类比（二）中的（1）

long long CModP(int n, int m, int p) {
    if (m == 0 || m == n) return 1;
    if (res[m][n] != 0) return res[m][n];
    res[m][n] = (CModP(n - 1, m, p) + CModP(n - 1, m - 1, p)) % p;
    return res[m][n];
}