数据结构——树

一：树的逻辑结构
（一）定义
树：n（n≥0）个结点的有限集合。
当n＝0时，称为空树；
任意一棵非空树满足以下条件：
⑴ 有且仅有一个特定的称为根的结点；
⑵ 当n＞1时，除根结点之外的其余结点被分成m（m>0）个互不相交的有限集合T1,T2,… ,Tm，其中每个集合又是一棵树，并称为这个根结点的子树。
Ps：所有的节点之内只能最多有一个入度，及以上一节点只能有一条线链接。
（二）树的基本术语
结点的度：结点所拥有的子树的个数。
树的度：树中各结点度的最大值。
叶子结点：度为0的结点，也称为终端结点。
分支结点：度不为0的结点，也称为非终端结点。
孩子、双亲：树中某结点子树的根结点称为这个结点的孩子结点，这个结点称为它孩子结点的双亲结点；
兄弟：具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。
路径：如果树的结点序列n1, n2, …, nk有如下关系：结点ni是ni+1的双亲（1<=i<k），则把n1, n2, …, nk称为一条由n1至nk的路径；路径上经过的边的个数称为路径长度。
祖先、子孙：在树中，如果有一条路径从结点x到结点y，那么x就称为y的祖先，而y称为x的子孙。
结点所在层数：根结点的层数为1；对其余任何结点，若某结点在第k层，则其孩子结点在第k+1层。
树的深度：树中所有结点的最大层数，也称高度。
层序编号：将树中结点按照从上层到下层、同层从左到右的次序依次给他们编以从1开始的连续自然数。
有序树、无序树：如果一棵树中结点的各子树从左到右是有次序的，称这棵树为有序树；反之，称为无序树。
森林：m (m≥0)棵互不相交的树的集合。
同构：对两棵树，若通过对结点适当地重命名，就可以使这两棵树完全相等（结点对应相等，结点对应关系也相等），则称这两棵树同构。
（三）遍历实现
1）前序遍历
树的前序遍历操作定义为：
若树为空，不进行遍历；否则
⑴ 访问根结点；
⑵ 按照从左到右的顺序前序遍历根结点的每一棵子树。
2）后序遍历
树的后序遍历操作定义为：
若树为空，则遍历结束；否则
⑴ 按照从左到右的顺序后序遍历根结点的每一棵子树；
⑵ 访问根结点。
3）层序遍历
树的层序遍历操作定义为：
从树的第一层（即根结点）开始，自上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。

二：树的存储结构
1）双亲表示法
通过数组储存该节点数据及双亲节点的位置，
2）孩子表示法
采用链表形式指针指向孩子节点
缺点：浪费空间，节点结构不一致
3）孩子兄弟表示法
右兄弟节点指向

三：二叉树逻辑结构
（一）二叉树定义
二叉树是n（n≥0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
（二）二叉树特点
⑴ 每个结点最多有两棵子树；
⑵ 二叉树是有序的，其次序不能任意颠倒。
（三）特殊二叉树
1.斜树
1 .所有结点都只有左子树的二叉树称为左斜树；
2 .所有结点都只有右子树的二叉树称为右斜树；
3.左斜树和右斜树统称为斜树。
2.满二叉树
在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上。
满二叉树在同样深度的二叉树中结点个数最多
满二叉树在同样深度的二叉树中叶子结点个数最多
3.完全二叉树
对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同。
完全二叉树的特点

1. 叶子结点只能出现在最下两层，且最下层的叶子结点都集中在二叉树的左部；
2. 完全二叉树中如果有度为1的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子。
3. 深度为k的完全二叉树在k-1层上一定是满二叉树。
   （四）基本性质
   1.二叉树的第i层上最多有2i-1个结点（i≥1）。
   2 一棵深度为k的二叉树中，最多有2k-1个结点，最少有k个结点。
   3 在一棵二叉树中，如果叶子结点数为n0，度为2的结点数为n2，则有: n0＝n2＋1。
   4 具有n个结点的完全二叉树的深度为 log2n +1。
   5 对一棵具有n个结点的完全二叉树中从1开始按层序编号，则对于任意的序号为i（1≤i≤n）的结点（简称为结点i），有：
   （1）如果i＞1，
   则结点i的双亲结点的序号为 i/2；如果i＝1，
   则结点i是根结点，无双亲结点。
   (2)如果2i≤n，
   则结点i的左孩子的序号为2i；
   如果2i＞n，则结点i无左孩子。
   (3)如果2i＋1≤n，
   则结点i的右孩子的序号为2i＋1；如果2i＋1＞n，则结点 i无右孩子。
   Ps：对一棵具有n个结点的完全二叉树中从1开始按层序编号，则
   结点i的双亲结点为 i/2；
   结点i的左孩子为2i；
   结点i的右孩子为2i＋1。
   （五）遍历操作
   前。后。层序遍历相同
   中序遍历
   若二叉树为空，则空操作返回；否则：
   ①访问根结点；
   ②前序遍历根结点的左子树；
   ③前序遍历根结点的右子树。
   非递归形式的遍历方式就是多一个·储存用的的栈来储存