学习笔记：扩展欧几里得

最新推荐文章于 2025-01-21 00:07:24 发布

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#扩展欧几里得算法

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博客围绕扩展欧几里得算法展开，探讨如何求得一组x、y使Ax+By=C成立，指出存在解的条件是C能被A和B的最大公约数整除。给出求特解和通解的方法及代码，还列举了相关例题及模板代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

扩展欧几里得

问：如何求得一组 $x, y$ ，使得 $A x + B y = C$ 成立。

假设上式成立，首先令 $g = g c d (A, B)$ ，那么上式就可以写成 $k_1gx+k_2gy=C$ ，化简得， $g(k_1x+k_2y)=C$ ，说明 $C%gC\%g$ =0 。所以 $A x + B y = C$ 存在解得条件就是 $C%gC\%g$ =0；反之，则不存在。

根据数论中相关定理，存在x，y，满足： $A x + B y = g c d (A, B)$ 。
怎么求一组解呢？
$Ax_1+By_1=gcd(A,B)$ ·················································································1
$Bx_2+(A\%B)y_2=gcd(B,A\%B)$
$Bx_2+(A-(A/B)*B)y_2=gcd(B,A\%B)$ ····················································2
1，2式等式左边相等： $Ax_1+By_1=Bx_2+(A-(A/B)*B)y_2$
整理一下： $Ax_1+By_1=Ay_2+B(x_2-(A/B)y_2)$

可以很明显看出： $x_1=y_2,y_1=x_2-(A/B)y_2$ 。下面给出代码

long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0){
        x=1,y=0;//如果b==0，那么gcd(A,B)=A,那么x=1，y=0
        return a;
    }
    long long ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;//下面这三句之所以要放在递归调用和return之间是因为要根据后面递归算出来的x，y值才能推出最开始的x，y
    x=y;//（接上一行注释）也就是Ax+By=gcd(A,B)的解
    y=temp-(a/b)*y;
    return ans;
}

执行完这段程序后就可以得到一组特解x，y。那么怎么求通解呢，下面给出证明：
在这里插入图片描述通解： $x=x0+Bgcd(A,B)∗tx=x_0+\frac{B}{gcd(A,B)}*t$
$y=y0−Agcd(A,B)∗ty=y_0-\frac{A}{gcd(A,B)}*t$
t为整数
就写道这吧。以后发现不足再改。

例题：
A line on the plane is described by an equation Ax + By + C = 0. You are to find any point on this line, whose coordinates are integer numbers from - 5·1018 to 5·1018 inclusive, or to find out that such points do not exist.
Input

The first line contains three integers A, B and C ( - 2·109 ≤ A, B, C ≤ 2·109) — corresponding coefficients of the line equation. It is guaranteed that A2 + B2 > 0.
Output

If the required point exists, output its coordinates, otherwise output -1.

Examples

Input

2 5 3

Output

6 -3
模板扩展欧几里得题：
在这里插入图片描述代码：

#include<cstdio>
#include<set>
#include<map>
#include<string.h>
#include<string>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
typedef long long LL;
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL temp=x;
    x=y;
    y=temp-(a/b)*y;
    return ans;
}
int main()
{
    LL a,b,c,x,y;
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
    LL g=exgcd(a,b,x,y);
    if((-c)%g!=0){
        printf("-1\n");
    }
    else {
        LL ansx=x*(-c/g);
        LL ansy=y*(-c/g);
        printf("%lld %lld\n",ansx,ansy);
    }

    return 0;
}

下面再补充一点求通解和最小正整数的解的代码

#include<cstdio>
#include<set>
#include<map>
#include<string.h>
#include<string>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<algorithm>
typedef long long LL;
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL temp=x;
    x=y;
    y=temp-(a/b)*y;
    return ans;
}
int main()
{
    LL a,b,c,x,y;
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
    LL g=exgcd(a,b,x,y);
    if((-c)%g!=0){
        printf("-1\n");
    }
    else{
        LL ansx=x*(-c/g);
        LL ansy=y*(-c/g);
        LL ta=b/g;
        LL tb=a/g;
        for(LL i=1;i<=100;i++){//枚举许多组解的过程
            x=ansx+i*ta;
            y=ansy-i*tb;
            printf("%lld %lld\n",x,y);
            cout<<(x*a+y*b+c==0)<<endl;
        }

        x=ansx+10*ta;//假设随意一组解，求x，y的最小正整数解
        y=ansy-10*tb;
        x=(x%ta-ta)%ta;
        y=(y%tb+tb)%tb;//y的最小正整数解

        x=(x%ta+ta)%ta;//x的最小正整数解
        y=(y%tb-tb)%tb;

        printf("%lld %lld\n",x,y);
    }
    return 0;
}