组合数求解

最新推荐文章于 2024-07-31 11:11:45 发布

一米の阳光

最新推荐文章于 2024-07-31 11:11:45 发布

阅读量1.1k

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏： # 数论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_43627100/article/details/103996880

数论专栏收录该内容

15 篇文章

订阅专栏

本文深入讲解了组合数的定义及性质，并提供了两种高效求解组合数的方法：利用杨辉三角和逆元求解。通过动态规划求解杨辉三角，避免了大数运算的复杂性；逆元求解则适用于取模运算，确保了计算的准确性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、组合数定义

从n个不同元素中取出m个元素的个数
C(n,m)=n! / m!*(n−m)!

二、组合数性质

C(n,m)=C(n,n-m)
C(n,m)=C(n−1,m)+C(n−1,m-1)
m/n*C(n,m)=C(n−1,m-1)
C(m,m)+C(m+1,m)+……+C(n,m)=C(n+1,m+1)

三、如何求组合数呢

杨辉三角

解释：第i+1行第j+1个代表C（i，j)，从i个里面选出j个

所以问题转化为如何求解杨辉三角

杨辉三角的性质：对于一个数，它等于它肩膀上的两个数的加和，同时每行的第一个和最后一个数都为1

根据这个性质，可以使用动态规划的思路来求解杨辉三角

状态转移方程：dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j]

代码实现

#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX 1000001
#define mod 1000000007
#define ll long long
int dp[2][MAX];
int C(int n,int m)//求解C(n,m)从n个里面选出m个
{
    dp[0][0]=dp[1][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<i;j++){
            dp[i&1][j]=(ll)(dp[(i-1)&1][j-1]+dp[(i-1)&1][j])%mod;
        }
        dp[i&1][i]=1;
    }
    return dp[n&1][m];
}
int main()
{
    int n,m;
    while(cin>>n>>m){
        cout<<C(n,m)<<endl;
    }
}

2、逆元求解

原理：C(n,m)=n!/(m!*(n-m))!

可以进行直接求解阶乘然后进行除法运算再取模，但是数据量太大，严重越界必须寻找解决方法。由于取模操作不能进行除法运算，所以可以对m！和（n-m）！求逆元（逆元就是 a*b=θ，θ为幺元，实际就是/a就等于乘以它的逆元 c/a=c*1/a=c*a*b/a=c*b）。然后就能得到 C(n,m)=jv(n)*jcinv(m)*jcinv(n-m)（jv是阶乘,jcinv是阶乘的逆元）。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 1000000007
#define Max 1000001
#define ll long long
ll jc[Max],jcinv[Max];
ll power(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    for(;b;b>>=1){
        if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return ans;
}
void init()
{
    jc[0]=jcinv[0]=1;//只是为了方便计算，无实际意义
    for(int i=1;i<Max;i++){
        jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
        jcinv[i]=power(jc[i],mod-2);
    }
}
ll C(int n,int m)
{
    return jc[n]*jcinv[m]%mod*jcinv[n-m]%mod;
}
int main()
{
    init();
    int n,m;
    while(cin>>n>>m){
        cout<<C(n,m)<<endl; 
    }
}