组合数求解

本文深入讲解了组合数的定义及性质,并提供了两种高效求解组合数的方法:利用杨辉三角和逆元求解。通过动态规划求解杨辉三角,避免了大数运算的复杂性;逆元求解则适用于取模运算,确保了计算的准确性。

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一、组合数定义 


从n个不同元素中取出m个元素的个数 
C(n,m)=n! / m!*(n−m)!


二、组合数性质 
 

  1. C(n,m)=C(n,n-m)
  2. C(n,m)=C(n−1,m)+C(n−1,m-1)
  3. m/n*C(n,m)=C(n−1,m-1) 
  4. C(m,m)+C(m+1,m)+……+C(n,m)=C(n+1,m+1)

三、如何求组合数呢

  1. 杨辉三角

解释:第i+1行第j+1个代表C(i,j),从i个里面选出j个

 所以问题转化为如何求解杨辉三角

杨辉三角的性质:对于一个数,它等于它肩膀上的两个数的加和,同时每行的第一个和最后一个数都为1

根据这个性质,可以使用动态规划的思路来求解杨辉三角

状态转移方程:dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j]

代码实现

#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX 1000001
#define mod 1000000007
#define ll long long
int dp[2][MAX];
int C(int n,int m)//求解C(n,m)从n个里面选出m个
{
    dp[0][0]=dp[1][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<i;j++){
            dp[i&1][j]=(ll)(dp[(i-1)&1][j-1]+dp[(i-1)&1][j])%mod;
        }
        dp[i&1][i]=1;
    }
    return dp[n&1][m];
}
int main()
{
    int n,m;
    while(cin>>n>>m){
        cout<<C(n,m)<<endl;
    }
}

2、逆元求解

原理:C(n,m)=n!/(m!*(n-m))!

可以进行直接求解阶乘然后进行除法运算再取模,但是数据量太大,严重越界必须寻找解决方法。由于取模操作不能进行除法运算,所以可以对m!和(n-m)!求逆元(逆元就是 a*b=θ,θ为幺元,实际就是/a就等于乘以它的逆元  c/a=c*1/a=c*a*b/a=c*b)。然后就能得到 C(n,m)=jv(n)*jcinv(m)*jcinv(n-m)(jv是阶乘,jcinv是阶乘的逆元)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 1000000007
#define Max 1000001
#define ll long long
ll jc[Max],jcinv[Max];
ll power(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    for(;b;b>>=1){
        if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return ans;
}
void init()
{
    jc[0]=jcinv[0]=1;//只是为了方便计算,无实际意义
    for(int i=1;i<Max;i++){
        jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
        jcinv[i]=power(jc[i],mod-2);
    }
}
ll C(int n,int m)
{
    return jc[n]*jcinv[m]%mod*jcinv[n-m]%mod;
}
int main()
{
    init();
    int n,m;
    while(cin>>n>>m){
        cout<<C(n,m)<<endl; 
    }
}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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