约瑟夫环的数学公式推导

最新推荐文章于 2024-02-10 01:41:00 发布

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本文介绍了一种高效解决约瑟夫环问题的数学方法，避免了传统循环算法的效率低下问题。通过递推公式F(N)=[F(N-1)+M]%N，可以快速计算出在N个人中，每次报数到M-1的人出列时，最后出列者的原始编号。

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约瑟夫环的数学方法解决

编写约瑟夫环程序时会发现，当我们把整个报数过程的人数N变的很大，例如到几百万，虽然在最后还是只剩下两个人报数，但也要循环几百万次才能确定最后留下来的那个人。这样程序执行的效率不高，会占用大量时间去执行循环的过程。有时会发生输出一直等待很长时间才能出来结果。经过查询资料，找到了约瑟夫环的数学解决方法，以及它的算法具体执行的过程来做分享。

我们假设 N是约瑟夫环中的总人数 M是规定报数的第几个人出列，一般我们规定是3。

一般的实现方法是用数组，链表的实现更为简单一些，方便删除数据。

这里使用数学方法，只需要找出来其中的规律即可得出结果，不需要通过数组或链表来实现。

下面详细介绍算法的具体推算过程:

问题：将编号为0～（N–1）这N个人进行圆形排列，按顺时针从0开始报数，报到M–1的人退出圆形队列，剩下的人继续从0开始报数，不断重复。求最后出列者最初在圆形队列中的编号。

这里从0开始，M-1相当于从第一个人报数开始时的M。

下面首先列出0～（N–1）这N个人的原始编号如下：

0 1 2 3 4 … N-3 N-2 N-1

第一个出列人的编号一定是（M–1）%n。

例如，在41个人中，若报到3的人出列，则第一个出列人的编号一定是（3–1）%41=2，注意这里的编号是从0开始的，因此编号2实际对应以1为起点中的编号3。根据前面的描述，m的前一个元素（M–1）已经出列，则出列1人后的列表如下：

0 1 … M-3 M-2 M-1 M M+1 … N-2 N-1

根据规则，当有人出列之后，下一个位置的人又从0开始报数，则以上列表可调整为以下形式（即以M位置开始，N–1之后再接上0、1、2……，形成环状）：

M M+1 … N-2 N-1 0 1 … M-3 M-2

按上面排列的顺序重新进行编号，可得到下面的对应关系：

M M+1 … N-2 N-1 0 1 … M-3 M-2

0 1 … … N-3 N-2

即，将出列1人后的数据重新组织成了0～（N–2）共N–1个人的列表，继续求n–1个参与人员，按报数到M–1即出列，求解最后一个出列者最初在圆形队列中的编号。

通过一次处理，将问题的规模缩小了。即，对于N个人报数的问题，可以分解为先求解（N–1）个人报数的子问题；而对于（N–1）个人报数的子问题，又可分解为先求[（N–1）–1]人个报数的子问题，……。

问题中的规模最小时是什么情况？就是只有1个人时（N=1），报数到（M–1）的人出列，这时最后出列的是编号为0的这个人。因此，可设有以下函数：

F(1)=0

那么，当N=2，报数到（M–1）的人出列，最后出列的人是谁？应该是只有一个人报数时得到的最后出列的序号加上M，因为报到M-1的人已出列，只有2个人，则另一个出列的就是最后出列者，可用公式表示为以下形式：

F(2)=F(1)+M

通过上面的算式计算时，F(2)的结果可能会超过N值（人数的总数）。例如，设N=2，M=3（即2个人，报数到2时就出列），则按上式计算得到的值是：

F(2)=F(1)+M=0+3=3

一共只有2人参与，编号为3的人显然没有。怎么办？由于是环状报数，因此当两个人报完数之后，又从编号为0的人开始接着报数。根据这个原理，即可对求得的值与总人数N进行模运算，即：

F(2)=[F(1)+M]%2

验证： F(2)=[F(1)+M]%2

=[(0+3)]%2

=1

即，N=2，M=3（即有2个人，报数到3–1的人出列）时，循环报数最后一个出列的人的编号为1（编号从0开始）。推算一下，当编号为0、1的两个人循环报数时，编号为0的人报的数为0和2，当报到2（M–1）时，编号0出列，最后剩下编号为1的人，所以编号为1的人最后出列。

编号： 0 1

报数：0，2 1

根据上面的推导过程，可以很容易推导出，当N=3时的公式：

F(2)=[F(1)+M]%3

同理，也可以推导出参与人数为N时，最后出列人员编号的公式：

F(N)=[F(N-1)+M]%N

其实，这就是一个递推公式，公式包含以下两个式子：

F(1)=0

F(N)=[F(N-1)+M]%n （N>1）

有了这个递推公式，再来设计程序就很简单了，可以用递归的方法来设计程序，具体代码如下：

/*****************************************************
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File name：
Author：Jerey_Jobs    Version:0.1    Date: 
Description：
Funcion List: 
*****************************************************/

#include <stdio.h>
int main(void)
{
    int n,m,i,s = 0 ;
    printf("输入参与人数N和出列位置M的值\n");
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i = 2;i <=n;i++)
    {
        s=(s+m)%i;
    }
    printf("最后出列的人最初位置是%d\n",s+1);
    return 1;
}