背包九讲的深入理解

01背包问题：
简述：有N件物品，容量为V的背包，每一件物品的容量为c[i] 价值为 w[i] 问如何装物品 才能使在不超过背包容量的前提下，价值最大。
计：dp[i][j]表示最大装i个物品，此时背包的内存为j时的价值大小，很显然，j<=v;
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-c[i]]+w[i])
这个转移方程的意思就是
如果第i个物品放入背包中时，那么前i-1个元素就要放入j-c[i]这个空间，如果第i个物品不放入背包时，那么i-1个元素就是要放入当前内存值j。
时间复杂度为o(nv) 空间复杂度也为o（nv)
//看了博客说这个可以不需要memset 其实也没事，o（n）的时间复杂度，但是一般题目memset还是要慎重使用的。
有时候也会卡空间复杂度，下面进行空间优化为o（v）
dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]+w[i])
这个一维的转移方程搭配的就是将二维数组简化为一个双重的for循环。这是01背包的问题。
完全背包问题
完全背包与01背包的差别就在于完全背包是不限制个数的，我们所要讨论的问题就是不在于是否取这个物品了，而是在于取几件，0件，1件，2件，。。。。。
因此转移方程可以转变成
dp[i][j]=max(dp[i-1][j-kc[i]+kw[i])(0<=kc[i]<=V)
不需要考虑放或者不放，只需要考虑是否是否取。
将其优化的办法：
1.空间上减为一维，也就是说
d[j]=max(d[j-c[i])+w[i],d[j])//有待讨论
2.如果出现c[i]<=c[j],w[i]>=w[j]那么这个可以j可以直接去掉。//但是在实际过程中，不太容易执行，也就不怎么做考虑了。
写到这里，有两个疑问
1.疑问点，为什么01背包要使用倒叙
2.完全背包为什么能转换成不带k的一维方程。
问题1：经过我一天的理解，我大致知道了为什么需要逆序，
首先先来说一下，逆序和顺序的区别
顺序，每次从0更新到n，他更新的是什么呢，是以i物品为媒介的所有值，
然后到了i->i+1的状态时，他所更新的是i在i时刻的状态，而不是i-1时刻的状态，因此需要倒叙
举个例子吧 容量为10
物品 价值 重量
1 5 3
2 4 2
3 2 4
当i等于1时开始第一层循环：
顺序：
dp[1]=max(dp[1],dp[1-3]+5)=0;
dp[2]=0
dp[3]=5
dp[4]=max(dp[4],dp[4-3]+5)=5
dp[5]=5
dp[6]=max(dp[6],dp[6-3]+5）=10
dp[7]=max(dp[7],dp[7-3]+5)=10
dp[8]=max(dp[8],dp[5]+5)=10
dp[9]=max(dp[9],dp[6]+5)=15
dp[10]=15
乍一看没什么问题
但是你看dp[6],dp[6]=10,但是只能放一个物品不是吗，没有一个物品价值为10，所以显然顺序是错的。错就错在记录的状态不对。
那为什么完全背包就可以是正序的了呢。
首先来解释完全背包为什么能优化成一维的反向01背包。
首先正序的一维数组可以实现一件事物的多选，就比如上面的dp[6]=10,这就意味着正序的01背包可以实现多选，因此就符合01背包的正序实现了。
//终于解决了啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊哭了
现在来看多重背包
多重背包与完全背包的区别就在于所有的东西不是随意的，总共有n[i]个，所以其实可以跟完全背包
dp[i][j]=max(dp[i-1][j-kc[i]]+k*w[i] k是有范围的。
那么如何把他的空间复杂度降下来呢，
一方面我们可以通过o(n^3)的循环，来进行。
但是可以进行二进制优化，
这个二进制优化的原理就是我们可以把一件物品拆分成2^n,和n[i]-2n个这样