算法与数据结构学习笔记（6）：图的拓扑排序

最新推荐文章于 2024-08-26 18:22:30 发布

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分类专栏： # 算法与数据结构基础文章标签：拓扑排序

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本文详细介绍了图的拓扑排序，包括AOV网的定义、AOE网的定义、拓扑序列的定义以及拓扑排序的定义。通过具体的例子展示了如何使用邻接表对AOV网进行拓扑排序，逐步解释了每个步骤，并给出了一个完整的输出序列。

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图的拓扑排序

主要解决一个工程能否顺序进行的问题。

AOV网的定义：
在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的网叫AOV网。
AOE网的定义：
在一个表示工程的带权邮有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，称为AOE网。（AOE网中没有入边的顶点称为始点，没有出边的顶点称为终点）
拓扑序列的定义：
设G = （V,E）是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列V₁、V₂…V_n，若满足从顶点V_i1到V_j有一条路径，则在顶点序列中顶点V_i必须在顶点V_j之前（不能存在回路），则V中的这个顶点序列叫拓扑序列。
拓扑排序的定义：
对一个有向图构造拓扑序列的过程。

从AOV网中选择一个入度为0的顶点输出，然后删除此顶点，并删除以此顶点为尾的弧，继续重复此步骤，直到输出全部顶点或AOV网中不存在入度为0的顶点为止。

下图是一个AOV网
在这里插入图片描述
对应的邻接表如下（in表示该下标所对应顶点的入度）

算法步骤：

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
此时的输出序列： V₃

此时，由与网中V₃的去除，网中的一些顶点的入度会减小（所以有可能会有新的入度为0的顶点产生）
更新后的邻接表如下，所以栈中入度为0的顶点有V₀、V₁，此时V₁出栈（V₁位于栈顶），输出V₁。并删除网所有以V₁为出发点的弧（显然，V₂、V₄、V₈的入度会 -1）

此时的输出序列： V₃→V₁

在更新邻接表后（即更新V₂、V₄、V₈的入度），此时V₂的入度为0，故V₂入栈。输出V₂，同时V₂出栈（因为V₂位于栈顶），并删除网所有以V₂为出发点的弧。（V₆的入度也变为0）

此时的输出序列： V₃→V₁→V₂

此时的输出序列： V₃→V₁→V₂→V₆

此时栈中只有V₀了。输出V₀，同时V₀出栈，并删除网所有以V₀为出发点的弧。（此时的 V₄、V₅的入度变为0，故 V₄、V₅进栈，拓扑序列不唯一，故V₄、V₅谁为栈顶无所谓，这里V₄为栈顶（其实入栈顺序与网的邻接表有关））

此时的输出序列： V₃→V₁→V₂→V₆→V₀
由于V₄在栈顶，故V₄出栈，输出V₄，并删除网所有以V₄为出发点的弧。

在这里插入图片描述

此时的输出序列： V₃→V₁→V₂→V₆→V₀→V₄

8.此时栈中只有V₅了。输出V₅，同时V₅出栈，并删除网所有以V₅为出发点的弧。（此时的 V₈、V₁₂的入度变为0，故 V₈、V₁₂进栈，设 V₈在栈顶）

在这里插入图片描述

此时的输出序列： V₃→V₁→V₂→V₆→V₀→V₄→V₅

由于V₈在栈顶，故V₈出栈，输出V₈，并删除网所有以V₈为出发点的弧。（此时V₇的入度变为0，故V₇入栈，并位于栈顶）

此时的输出序列： V₃→V₁→V₂→V₆→V₀→V₄→V₅→V₈
此时栈中只有V₇了。输出V₇，同时V₇出栈，并删除网所有以V₇为出发点的弧（没有弧可删）。

此时的输出序列： V₃→V₁→V₂→V₆→V₀→V₄→V₅→V₈→V₇
此时栈中只有V₁₂了。输出V₁₂，同时V₁₂出栈，并删除网所有以V₁₂为出发点的弧。（此时的 V₉的入度变为0，故 V₉进栈）