【LeetCode】每日一题 483. 最小好进制【数学；二项式定理】

最新推荐文章于 2023-02-13 02:24:33 发布

原创最新推荐文章于 2023-02-13 02:24:33 发布 · 180 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

LeetCode 专栏收录该内容

12 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种算法，用于找出一个数n的最小优良基数k。通过数学推导确定了k进制下的数值范围，并利用二项式定理计算出k的具体值。最后，通过不断缩小m的范围来枚举k，直到找到符合条件的最小k。

1.题目链接
点击这里

2.解题思路
首先，n在k进制下展开：
n=k ^ 0 + k ^ 1 + k ^ 2 + …+ k ^ m > k ^ m;
展开式可以看作一个首项为1，公比为k的等比数列的求和，
(1 - k^m) / (1 - k) = n ;
求出m为 m = kn - n + 1 < kn ;
那么m的上界就确定为 m < log_k(n) ;

根据二项式定理:
(1+k) ^ m > n > k ^ m ;
那么有
k < pow(n,1/m) < k+1 ;
而因为k是整数，所以k实际上就是pow(n,1/m)的整数部分。
这样就可以通过m计算出k；

现在，从最小的进制开始，不断通过m的缩小枚举k，计算出k进制下的值，与n进行比较。最大的k是n-1，即n-1进制下的n为n-1。

3.代码

class Solution {
public:
    string smallestGoodBase(string n) {

        typedef long long LL;
        LL val=stol(n);

        int mMax=(float)(log(val)/log(2));
        for(int m=mMax;m>1;m--){
            int k=pow(val,1.0/m);
            LL sum=1,mul=1;
            for(int i=0;i<m;i++){
                mul*=k;
                sum+=mul;
            }
            if(sum==val) return to_string(k);
            
        }

        return to_string(val-1);

    }
};