采药（01背包）

FJUT 2347
Problem Description
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

Input
输入文件medic.in的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

Output
输出文件medic.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

SampleInput
70 3
71 100
69 1
1 2

SampleOutput
3

经典的背包问题，dp解决。当然也可以暴力 暴力是万能的 但会TLE。
首先开两个数组 time【i】，weight【i】 采每种药需要的时间和他的重量。。
然后对于每种药 我们有两个选择，可以采也可以不采，前提是看采这个药的时间是否小于等于剩余时间 是的话在选择，既然要最大值，肯定是要性价比高的了。这样的话我们定义一个二维数组dp【i】【j】 表示前i个药花费j时间所放的最大重量。。

如果time【i】＞剩余的时间 那么dp【i】【j】就等于dp【i-1】【j】
那么如果time【i】<=剩余的时间，就可以选择weight放或者不放，那么怎么判断放不放呢
就是状态转移方程
dp【i】【j】=max（ dp【i-1】【j】， dp【i-1】【j-time【i】】+weight【i】） ）
将当前这个药所需要花的时间减去 在加上当前药的价值看是不是比不采当前药的重量大，是就采，不是就不采。
最后的结果就是dp【药的个数】【总共时间】
代码如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll dp[105][1005];
int main()
{
    ll w[1005],time[1005],i,j,t,m;
    cin>>t>>m;
    for(i=1;i<=m;i++)
        cin>>time[i]>>w[i];


    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        for(j=0;j<=t;j++)
        {
            if(j<time[i])
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
            else
            {
                dp[i][ j ]=max( dp[ i-1 ][ j ] ,  dp[i-1][j-time[i]]+w[i]  );
            }
        }
    }
    cout<<dp[m][t];
}

复杂度是O（n*m）。

---

这里介绍一下 用一维数组dp的空间优化，dp【i】【j】是由dp【i-1】【j】得到而来的，所以我们可以把dp作为存重量的数组即可，而i每一次都进行迭代就行。
附上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int t,m;
    cin>>t>>m;
    int dp[1005]={0},v[1005],w[1005],i,j;
    for(i=0;i<m;i++)
        cin>>w[i]>>v[i];

    for(i=0;i<m;i++)
    {
        for(j=t;j>=w[i];j--)
        ///这里注意要逆序，因为状态转移方程dp【i】【j】是由dp【i-1】【j】得来的，如果顺序的话
        ///会被覆盖，也就是会被选择多次 就变成了完全背包了
            if(dp[j-w[i]]>=0) dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    }
    cout<<dp[t];
}