Codeforces Round #641 (Div. 2) C. Orac and LCM

题意：给了n个数，让求gcd{ lcm{a[i],a[j]} } (i<j)
就是n个数，两两配对求出他们的lcm，对于所有lcm在求出gcd

 

思路：考虑一下gcd和lcm在算术基本定理下的含义。

那么容易知道

那么对于两两组合求lcm，我们容易知道取的质因数是最大的那个，然后整体求gcd质因数取的是最小的。

那么考虑一下。如果对于n个数而言，有n-1个数都含有质因数x，那么最后的所求答案的gcd一定有质因数x，为什么？

因为只存在一个数字没有质因子x，那么因为lcm是取最大的，所以别的数都有，配对时候可以把他拉上来，也就是求出来的lcm是有的。

那么容易知道对于质因数x，n个数内，如果含有质因子x的个数＜n-1个，那么lcm必有两个是无法含有x因子的，那么gcd取得是最小，所以对答案没有贡献。

那么还有一种呢？ 就是n个数都含有质因子x，考虑一下前面所说得，lcm取得是最大，对于最小的那个，一定会被拉到和含有x因子个数第二小一样，整体gcd取最小，那么自然是含有x因子个数第二个小的那个。

那么做法就很清楚了。

把每个数的每个质因子个数都求出来。

如果有n-1个数含有质因子x，那么答案就乘上x^k[x][0],k[x]数组为还有x因子的个数，k[x][0]是含有个数最少的。

如果有n个数含有质因子x，那么答案就乘上x^k[x][1],k[x]数组为还有x因子的个数，k[x][1]是含有个数第二少的。

其实本质都是乘x^k[x][1]，这里你可以会问，那为什么如果有n-1个数含有质因子x，我的幂是k[x][0]而不是k[x][1]

这个看个人写法，我的写法是不含有x因子的，也就是含有个数是0个，就没丢到数组内，其实丢进去那一个不含有的，也就是含有个数为0，那么就统一了幂是第二小。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
ll a[2000005],c[2000005];
vector<int> k[2000005];
ll qpow(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=a*ans;
        b>>=1;
        a=a*a;
    }
    return ans;
}
int main(){

    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        int x=a[i];
        for(int j=2;j*j<=x;j++){
            if(x%j==0){
                c[j]++;
                int num=0;
                while(x%j==0) x/=j,num++;
                k[j].push_back(num);
            }
        }
        if(x!=1){
            c[x]++;
            k[x].push_back(1);
        }
    }
    ///k[i][j]数组表示质因子为i的第j个的个数
    for(int i=1;i<=200000;i++) sort(k[i].begin(),k[i].end());
    ll qq=1;
    for(int i=1;i<=200000;i++){
        if(c[i]>=n-1){
            if(c[i]==n-1) qq*=qpow(i,k[i][0]);
            else qq*=qpow(i,k[i][1]);
        }
    }
    cout<<qq;
    return 0;
}