辗转相除法求最大公约数及其证明

gcd: greatest common divisor

辗转相除法求最大公约数，python代码实现如下：

def gcd(a: int, b: int) -> int:
    if a < b:
        return gcd(b, a)
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a


# 测试
g = gcd(14, 21)
# 7
print(g)

原理：假设求(a, b)的最大公约数，这里a>b，将(a, b)变成(b, a % b)，根据这种方式一直推导，迟早有一天(One day…)第二个更小的数变成了0，此时第一个不为0的数就是两个数的最大公约数。

演示一个例子

gcd(14, 21)

=> gcd(21, 14) # 交换顺序，保证第一个数比第二个数大

=> gcd(14, 7) # gcd(14, 21 % 14)

=> gcd(7, 0) # gcd(7, 14 % 7)

=> 7

算法的原理在于(a, b) => (b, r)，其中r = a % b，推导成立说明它们拥有完全一样的约数，即对于任意一个(a, b)的公约数d，它也是(b, r)的公约数。特殊化，它们也拥有一样的最大公约数。

(a, b) => (b, r), a ÷ b = q … r 证明

假设(a, b)的一个公约数d，则

a = dm, b = dn

r = a - bq = dm - dnq = d(m - nq)

说明d也是r的约数。

(b, r) => (a, b)，a ÷ b = q … r证明

假设(b, r)的一个公约数d，则

b = dk, r = dm

a = bq + r = dkq + dm = d(kq + m)

说明d也是a的约数。

证明结束。