【LeetCode】第172题——阶乘后的零（难度：简单）

题目描述

给定一个整数 n，返回 n! 结果尾数中零的数量。

1. 示例 1:
   输入: 3
   输出: 0
   解释: 3! = 6, 尾数中没有零。

2. 示例 2:
   输入: 5
   输出: 1
   解释: 5! = 120, 尾数中有 1 个零.

说明: 你算法的时间复杂度应为 O(log n) 。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/factorial-trailing-zeroes
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解题思路

原理上是查找5与2的结对数，按理应该返回五的计数器与二的计数器的最小的那个数。但是整个遍历下来，总数上肯定前者小于后者，因此只保留五的计数器即可。

思路一：时间复杂度不为 O(log n)。每隔5个数遍历，看其可被5整除几次，计数器便加几，最终返回计数器的个数。

思路二：时间复杂度为 O(log n)。
本人尽量描述详细，便于读者理解。（注意此思路二部分的“/”均为java下的整除符号，“=”为数学意义下的等号，而非java意义下的赋值）

1. 对输入n进行处理：n/5=a1可以表示为有多少个数能被5整除，而能被5整除意味着这些数至少都能被5整除1次，即计数器加1×a1。

2. 继续，还是对n进行处理：n/25=a2可以表示为有多少个数能被25整除，而能被25整除意味着这些数至少都能被5整除2次，除去n/5的那1次，还有1次，即计数器再加1×a2。

3. 再继续，还是对n进行处理：n/125=a3可以表示为有多少个数能被125整除，而能被125整除意味着这些数至少都能被5整除3次，除去n/25的那2次，还有1次，即计数器再加1×a3。

4. 继续推…
   会发现五的计数器最后的计数值表示为"a1+a2+a3+…"，表示为：

   $\frac{n}{5}+\frac{n}{25}+\frac{n}{125}+...$（除法为整除）

   又可表示为：

   $\frac{n}{5}+\frac{\frac{n}{5}}{5}+\frac{\frac{\frac{n}{5}}{5}}{5}+...$（除法为整除）

   即不断进行n/5的操作，并把整除后得到的数累加。

应该是讲明白思路了吧。

代码详解

思路一：每隔5个数遍历

class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        int count_five = 0;	// 计数器
        for(int i = 5; i <= n; i = i + 5) {	// 每隔5个遍历
            int num = i;
            while(true) {
                if(num % 5 == 0){	// 看能被5整除几次
                    ++count_five;
                    num = num / 5;
                } else {
                    break;
                }
            }
        }
        return count_five;
    }
}

思路二：不断整除5（推荐）

如果看不懂代码或原理，还是麻烦返回上面查看思路二的解释，已经解释得很详细啦！

class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        int count_five = 0;
        while(n > 0) {
            n = n / 5;	// 不断整除5
            count_five = count_five + n;	// 结果累加
        }
        return count_five;
    }
}

注意点

• 如果题目看起来和数学计算相关，可以思考一下能否用数学的方式来解决问题。