python乱炖.2——0/1背包问题

python乱炖.2——0/1背包问题

学习笔记系列

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问题描述

给定一个固定容量 W 的背包（约束），n件物品，每件物品的重量w[i]和价值 v[i]。
目标：选择哪些物品可以使得它们的总价值最大，且总重量不超过背包的最大承载重量。

“0/1” 意味每件物品要么被选中放入背包，要么不被选中，不能拿这个物品的一部分，这其实简化了问题。

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问题求解（动态规划）

定义二维数组 dp[i][w]

• 其中 i 表示前 i 件物品，w 表示当前背包容量(背包的承载容量从 0 到 W)
• dp[i][w] 表示前 i 件物品中，容量为 w 的背包能够装入的最大价值

状态转移方程：

• 如果不选第 i 件物品：dp[i][w] = dp[i-1][w]
  ——在当前的背包容量w下，保持原来的组合不变（这里有两种情况，1.这个物品太大了，放不进去，2.原来的组合价值更高）
• 如果选第 i 件物品（w>物品大小w[i]）：dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-w[i]] + v[i])