通信原理的那些定理

前言

这些定理是参照《通信原理》（北京邮电大学出版，周炯槃）一书整理的。

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奈奎斯特采样定理

若频带宽度有限的，要从抽样信号中无失真地恢复原信号，抽样频率应大于2倍信号最高频率。适用于时间连续信号（模拟信号）
设抽样信号的最高频率是$f_H$，奈奎斯特采样速率为$R_s=2f_H$
采样速率低于$R_s$，信号的频谱会有混杂
采样速率高于$R_s$，信号的频谱无混杂

无码间干扰基带传输的奈奎斯特准则

基带传输系统的合成冲激响应$x(t)=g1(t)\ast c(t)\ast g2(t)$ [*为卷积符号]，傅里叶变换为$X(f)$，$T_s$是M进制符号的周期。无码间干扰基带传输的奈奎斯特准则可表述为如下：

$$x(n{T}_s)=\{\begin{array}{rlr}1& & n=0\\ 0& & else\end{array}$$
$$\sum _{m=-\infty }^{\infty }X(f+\frac{m}{T_s})=T_s$$

无失真离散信源编码定理

不仅使传送的编码序列的信息速率尽量小，还要从该编码序列无失真地恢复出原信源的输出符号，即能正确进行反变换或译码，称此信源为无失真离散信源编码。

设输入符号序列$x=(x_1...x_L)$，共有L位，每一位有n种，共有$n^L$种消息序列；输出$S=(S_1...S_K)$
$$x=(x_1...x_L)\to S=(S_1...S_K)$$

• 典型香农第一等长编码定理: $\forall \epsilon >0,\delta >0$ , 只要$\frac{K}{L}logm\ge H(x)+\epsilon$，当$L$足够大时，必使译码差错<$\delta$
• 典型香农第一变长编码定理：当$L$足够大时，必存在一种编码方式，使编码器的输出符号最小信息率$R(bit/symbol)$略大于$H(X)$，可几乎做到近似无失真。$R=\frac{\bar{K}}{L}log(m)\ge H(x)$
• 单消息信源的最佳变长编码：哈夫曼编码

香农信道编码定理

对任意给定的信道，设其容量为$C$，则一定存在一种信道编码，当其传输速率低于$C$时，收端译码后的差错率可以做到无穷小；反之，若传输速率大于$C$，任何编码都不可能做到差错率很小

• 香农公式 $C=B{\log }_2(1+\frac{S}{{\sigma }^2})$   $(bit/s)$
  发送信号功率为$S$，带宽为$B$，噪声功率为${\sigma }^2=N_{0}B$